科学百科知识第7期丨什么是素数？数学家为什么对它们感兴趣？

本期为大家带来：

《你知道吗——现代科学中的100个问题》

本书是阿西莫夫的优秀作品之一。
作者以通俗的语言，深入浅出地解释了现代科学中的一百个尖端课题。
其中，有些是了解现代科学技术所必须具备的基础知识，如科学的研究方法、二进制数、相对论、亚原子粒子、核聚变、熵、晶体、病毒等。有些则是当代科学技术的前沿阵地，如黑洞、统一场论、夸克、快子、金属氢等。
作者对这些问题的来龙去脉，它们目前处在什么样的状态、有没有希望得到解决等问题均作了回答。

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第七个问题： 什么是素数 ？素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和１的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，１５＝３×５，所以１５不是素数；又如，１２＝６×２＝４×３，所以１２也不是素数。另一方面，１３除了等于１３×１以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以１３是一个素数。有的数，如果单凭印象去捉摸，是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数，不管它有多大，只要它的个位数是２、４、５、６、８或０，就不可能是素数。

此外，一个数的各位数字之和要是可以被３整除的话，它也不可能是素数。但如果它的个位数是１、３、７或９，而且它的各位数字之和不能被３整除，那么，它就可能是素数（但也可能不是素数）。没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这个数表示为两个比它小的数的乘积。找素数的一种方法是从２开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到１００００）。

第一个数是２，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被２整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在２后面的是３，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被３整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是５，然后往后每隔４个数删去一个，以除去所有能被５整除的数。再下一个数是７，往后每隔６个数删去一个；再下一个数是１１，往后每隔１０个数删一个；再下一个是１３，往后每隔１２个数删一个。……就这样依法做下去。你也许会认为，照这样删下去，随着删去的数越来越多，最后将会出现这样的情况；某一个数后面的数会统统被删去因此在某一个最大的素数后面，再也不会有素数了。

但是实际上，这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大，百万也好，万万也好，总还会有没有被删去的、比它大的素数。事实上，早在公元前３００年，希腊数学家欧几里得就已证明过，不论你取的数是多大，肯定还会有比它大的素数，假设你取出前６个素数，并把它们乘在一起：２×３×５×７×１１×１３＝３００３０，然后再加上１，得３００３１。这个数不能被２、３、５、７、１１、１３整除，因为除的结果，每次都会余１。如果３００３１除了自己以外不能被任何数整除，它就是素数。如果能被其它数整除，那么３００３１所分解成的几个数，一定都大于１３。

事实上，３００３１＝５９×５０９。对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数，都可以这样做。如果算出了它们的乘积后再加上１，那么，所得的数或者是一个素数，或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大，总有比它大的素数，因此，素数的数目是无限的。

随着数的增大，我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对，如５，７；１１，１３；１７，１９；２９，３１；４１，４３；等等。就数学家所能及的数来说，他们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限个呢？谁也不知道。数学家认为是无限的，但他们从来没能证明它。这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因。素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题，他们目前还没能对付这个挑战哩。

这个问题到底有什么用处呢？
它除了似乎可以增添一些趣味以外，什么用处也没有。 不过真的一点用处也没有吗？

……听说在密码方面很有用哩。