薛定谔的爱情与狄拉克的996

薛定谔的爱情与狄拉克的996

《哈姆雷特》中有句名言 ”天地之间有许多事情，按你们的哲学连做梦都想不到的“，量子力学就是这些事情其中之一。这个时代如果你说自己不懂量子力学，没有人可以责怪你，但是如果你还没有听说过量子论，就彻底out了。量子的时代已经被激发，信息时代到量子时代的能级跃迁也一触即发。那将是一个懵懵懂懂的、神秘的、叠加的、测不准的、一不小心就坍缩的、靠着本征态与概率支撑起来的世界。

伟大的时代

带领人们一窥这个玄妙世界的伟大物理学家，不是大名鼎鼎的爱因斯坦，而是下图中包括爱因斯坦本尊的多位：普朗克、波尔、德布罗意、海森伯、薛定谔、狄拉克、泡利还有波恩。1900-1930年是人类历史上的伟大时代，这些大师们都开挂了似的，颇有些百家争鸣的味道，而对现在人来说，其中要数薛定谔最耳熟能详，笔者认为主要得益于三件事情：薛定谔的猫，薛定谔的滚，还有其著名的薛定谔方程。

事情可以从热力学说起，麦克斯韦的分子运动论描述了分子速度的概率分布，而玻尔兹曼则用概率与熵建立起了微观随机状态与宏观物理量之间的关系。黑体辐射与紫外灾难又迫使普朗克沿着玻尔兹曼的思路推导出来 e=hf, h是个微小的常数，能量子的能量e与且仅与其震动频率f成正比。接着伯尔尼专利局的年轻职员爱因斯坦受到玻尔兹曼与普朗克的启发，用光子成功解释了光电效应。进一步波尔量子化了原子内部轨道，理论化了能级跃迁；泡利提出了量子态的一山不容二电子；波尔又顺势解释了门捷列夫的元素周期表，我知道这个你熟。

爱因斯坦预言光既是粒子又是波，而法国王子德布罗意说：这都不是事，所有的物质都有波动性，让我们仔细观察一下e=hf, f 是什么，f 显然描述了原子内部的某种内在的“周期运动”，h/p=λ，光子波长减小，动量增加，因而我推断电子在原子中以圆形的驻波运动，所以就有了基频与倍频的离散频率，这就是量子性。此处你有没有意识到点什么，对，原来世界还是傅里叶的。

量子的时代，至此，其实才刚刚开启一个门缝，直到大神薛定谔，还有两个毛头小伙海森伯与狄拉克加入战队，新量子的伟大时代才揭开她神秘的面纱。坊间有不少传闻，不知道海森伯是不是受到傅里叶级数的启发，他在山上躲避花粉过敏、孤独仰望星空的时悟出了符号乘法，后被波恩发展成矩阵力学；而科研工作不断需要新爱情激励的薛定谔，却是在浪漫的旅社里幽会时，灵光闪现，构造出举世闻名的薛定谔方程；此时天才的清教徒狄拉克还在如寺院般宁静的剑桥河畔不知疲倦的带着盒饭散步，受海森伯启发，狄拉克将连续场看成小块块，用狄拉克方程一统量子力学与相对论。这一切来的太集中、太突然，不能肯定是不是被遥远的外星文明纠缠，可以肯定的是，薛定谔在求解波动方程时，使用了傅里叶的本征函数的方法。伟大的思想总是不断传承。

量子的世界

一维薛定谔方程：

三维薛定谔方程：

定态薛定谔方程：

薛定谔创造上述方程的故事你要八卦一下，但是别想太多，天底下也就一个薛定谔，许许多多人都有被爱情激励的时刻，只有薛定谔从中悟出了方程。自打薛定谔找到波函数这个锤子，什么在他眼里都变成了钉子，他心目的原子模型，也就不再是我们耳熟能详的小太阳系了，而是各种波包的叠加，直到被洛伦兹老先生点醒。你看，普罗大众都拥有自由的潜力，而伟大的人却各有各的局限。波恩，就是那个帮助海森伯发展出来矩阵力学的波恩，在玻尔兹曼用概率处理微观复杂性的思想指引下，引入概率波解释原子体系，成为主流的量子力学诠释。薛定谔不干了，他牵出他的病猫。

概率波诠释到底是不是权宜之计？大神们没有结论，很多神秘的现象也还不能解释。任何试图解释这些现象的努力，都很容易被认为是民科（民间科学家，你懂的，这不是什么褒义词），除非你是大学教授。冒着被骂民科的风险，我们用自己的语言来理解一下这个方程：她优雅的描述了波函数的时间变化率（右侧）与波函数的空间变化率（左一），以及波函数在空间中的势（左二）之间的确定的关系。大胆猜测她是动量守恒与能量守恒应用于量子层级的变体。Ψ是一种概率分布，或者某种真实的分布只是我们不可能获知细节，但即便我们搞不清这个分布的内部细节，我们也知道她不可能出现能量动量不守恒的情况，如果是概率分布，整体概率之和是1，但得承认这是我们所能知道的一切。

薛定谔因为他的杰出发现，获得了1933年诺贝尔物理学奖。很多人不知道，跟他分享这一殊荣的，就是史上最低调的，连诺奖都想放弃的天才，狄拉克。对于这个安静到有些孤僻，甚至被怀疑些许自闭的学者，波尔曾这样评价，“在所有物理学家中，狄拉克拥有最纯洁的灵魂”，他最大的业余爱好就是‘散步’，996式的，甚至周日也带着午餐散步一整天，在剑桥校园里，围着静美的康河。他电话试图拒绝诺奖时，考虑的是诺奖会打扰他 996 的田园诗，而回复是：如果你不接受，媒体更会 996 打扰你。狄拉克的哥哥因抑郁（怀疑自闭）而自杀，家庭的不幸，没有阻挡住这位”降落凡间的外星人“，”在物理学和数学的世界里踽踽独行“，成为与牛顿、爱因斯坦比肩的最伟大的物理学家之一。所以请善待身边的每个人，特别是看似自闭的儿童，他们或许都像狄拉克一样，是宇宙创造的特立独行的天使。

四维狄拉克方程：

化简形式一：

化简形式二：

方程式之美，远比符合实验结果更重要，这是狄拉克的信仰。他的物理与数学世界是充满美感的，对于-1/2自旋粒子而言，狄拉克方程可以作为薛定谔方程引入相对论影响的泛化形式，或者说薛定谔方程是狄拉克方程的非相对论特例。她完美的整合了相对论与量子力学，成为当代物理中最美最强大的方程之一。“你用粒子观念看就得到粒子性质，用波动观念看就得到波动性质”。从四维方程形式也容易看出，她同样优雅的描述了波函数Ψ 的时间变化率（左侧）与波函数的空间变化率（右一），以及波函数的某种势（右二）之间的确定的关系。狄拉克还借此预言了正电子的存在，后由实验证实。

试想象一下，在原子内部的如此微小的空间中，什么力量可以驱动量子加速到接近光速？靠燃烧自身的质量吗（）,这难道就是“瘦成一道闪电”的物理原理？！又是什么力量让量子慢下脚步好好欣赏沿途的风景？降低的速度对应的能量会“堆积”回质量吗？加速成光波，减速成粒子，你就是这样的波粒二象性？量子以接近光的速度在原子的微小空间中运动，是一种什么景象？眼花缭乱还是飘忽不定还是如鬼魅幽灵般的存在？越想越民科，越想越容易走火入魔。据说波尔选择了太极图作为其爵士勋章，我没有考证，但激发了华夏多少大师，请出先祖伏羲的太极八卦，“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，奉为上古失传的量子力学教程。

量子计算

狄拉克奠定了量子场论，后来费曼等人进一步发展其理论成为量子电动力学。也就是这个擅长玩概念的、首次提出纳米科学的费曼，1981年首次提出了量子计算与量子计算机的概念。天才都是如此相似，生活在概念化的抽象世界中。量子计算是面向指数型增长、庞大到经典计算机无法企及的计算规模的，所以直到经典计算机算力渐趋逼近物理极限的当下，量子计算才逐步成为研发热点，以应对未来更广泛深入的信息化、大数据与人工智能等等应用对于算力的渴求。

虽然量子在测量的时候会坍缩到非此即彼的状态，但是我们或许永远也搞不懂那个测不准的、叠加的由本征态与概率支撑起来的世界。经典计算机一个比特（bit）非0即1，两个bit排列组合，也就能承载00、01、10、11四种可能的信息，N个bit承载2的N次方的信息。量子计算则不然，一个量子世界的比特（qubit）, 可以拥有两个选择的自由，游走于其间或向0或向1；两个qubit也就有了四个选择自由（00、01、10、11），她处在四个自由度的联合概率分布中，N个量子比特则拥有2的N次方的自由度。也就是说，薛定谔这只猫可以自由选择自己的生死，可生，可死，或者（1/) 生加上 (1/)) 死。

这些自由度不是别的，就是那些离散的量子态。把他们看成向量，作为正交基底，构建的起来的向量空间，是所有量子状态（包括superposition叠加态）存在的空间。死猫是一个向量，活猫是一个向量，薛定谔的猫的叠加态就是二者构成空间中的一个向量。2的平方根看起来怪异？想想整体概率之和需要等于 1 。薛定谔的猫当然也可能处于这样的状态：（1/2+1/2i) |死> + (1/2 - 1/2i) |活>，别担心这里的复数，请把 i 看成角度。|> 是狄拉克符号，权且把它当成一个向量。这可以形象化为下图中的Bloch sphere球。坚持看到这里，精神有点恍惚莫名焦虑？莫担心，费曼说：“我可以很确定的告诉大家，没有人真正了解量子力学”；导师们也常用这种观点来指导抱怨量子力学的研究生：闭上嘴，只管算（“Shut up and calculate”）。

并行是量子计算的精髓，qubit作为量子计算的核心，有着惊人的信息编码能力，量子系统则具备内在的并行特性。为操作qubit， 相对于操作bit的传统计算机的NOT，AND，OR，XOR等逻辑门，量子计算也构造了众多的量子门，而这些量子门又进一步排列组合构成复杂的量子电路。值得强调的是，把量子态表述为向量是创举，量子态之间的转换就能够借助线性代数的成熟工具描述，例如量子门就可表示成各种酉矩阵（U 与其共轭转置U' U'U = I 单位阵）。酉性质很重要，它能够保持向量间的内积及向量的范数，酉性限制是对量子门的唯一限制。整个量子计算与量子信息的理论，就是很好的《当代应用线性代数与概率论》教材。

将量子比特的叠加与并行的特性应用于人工神经网络会不会有颠覆式的效果呢？自路易斯安那州立大学Kak 教授1995年开创量子神经网络（QNN - Quantum Neural Network）以来，包括Google,Xanadu等在内的科研团队，做了广泛的富有成效的探索。去年底意大利科研人员实打实在量子计算机上实现了人造神经元，量子神经网络不再是水中月镜中花，着实让行业兴奋了好一阵子，正如今天发布人类首次拍到的黑洞照片。去年年初加州大学物理学家Matthew Fisher在《物理学年鉴》发文称磷原子的核自旋可以作为大脑中的初级“量子比特”，这使大脑能够像一个量子计算机那样运作，语惊四座。普通人对此难辨真假，但是坚信人类“判天地之美，析万物之理”的步伐永无止息。

“水波离开了它产生的地方，而那里的水并不离开，就像风在田野里掀起的麦浪，我们看到，麦浪滚滚地向田野里奔去，但是麦子却仍停留在原来的地方”，这是达芬奇眼里的波。“上帝有一堆标准的正弦函数，他任意地挑其中的一些出来，能组成宇宙万物。这些正弦函数从最开始就没有变过，我们看到的变化都是组合的变化”，这是傅里叶眼里的波。达芬奇看到了美妙的画面，而傅里叶体察出宇宙的本源。

波尔说“谁要是第一次听到量子理论时没有感到困惑，那他一定没听懂”，所以你最好多读几遍本文。现在距离那个外星意识纠缠地球的伟大时代已经近一个世纪了，量子力学的大神们在名人的殿堂里，依然熠熠生辉。如今我们有了量子物理、量子化学、量子生物学、量子计算、量子神经网络 ……，代表我们这个世纪最伟大的发现又在哪里？是不是已然到来？我知道那肯定不是大数据或人工+智能，大智物云区块链都无法扛起这面大旗，而我们的工程师还在 996 辛苦挣扎中，一边量子化自己的发量，一边奢望美好的爱情。

参考文献

https://www.fisica.net/mecanica-quantica/Phillips%20-%20Introduction%20to%20Quantum%20Mechanics.pdf

http://mathworld.wolfram.com/DiracEquation.html

http://www.michaelnielsen.org/qcqi/QINFO-book-nielsen-and-chuang-toc-and-chapter1-nov00.pdf

https://www.amazon.com/Introducing-Quantum-Theory-Sciences-Discovery/dp/1840468505

https://medium.com/@jonathan_hui/qc-what-are-qubits-in-quantum-computing-cdb3cb566595

https://ai.googleblog.com/2018/12/exploring-quantum-neural-networks.html

http://muchong.com/html/200506/93984.html

https://arxiv.org/abs/1811.02266

作者：王庆法，数据领域专家，首席数据官联盟专家组成员