薛定谔的佛与深度学习中的因果

薛定谔的佛与深度学习中的因果

《寻梦环游记》看哭了许多人，小男孩米格踏过花瓣桥，也就踏入了既生又死的状态，出现在他眼前的，是恢弘的亡灵世界。如果人世间没有人再记得，骷髅人也将在亡灵世界烟消云散，这是人存在的本来景象吗？玛雅人祭奠的圣井，真的是通往亡灵世界的入口吗？玛雅人是不是已然到达了传说中的梵境？

紧跟着玛雅人到达梵境的，是现在的一批90后。《第一批90后已经出家了》称，办公室的90后已经找到人生的新方向，宣布成佛，“有也行，没有也行，不争不抢，不求输赢”，这是真真正正的梵境，是物我两忘、无生无死、无真无假的量子存在。这已经无限接近薛定谔心目中的生命体验（life）：“......‘我’这个人，如果有，那依照自然规律控制了‘原子运动’”；“我”的定义并非是经历体验的收集，而“在收集它们的画布之上”；如果催眠师能成功遮闭所有早期记忆，就没有个人存在性的损失——“也将不曾有是”。这也是印度教意义上的佛。

统计学家眼中的佛

这些表述出现在薛定谔1944年出版的书《What is Life?》，薛定谔说，生命是由负熵喂养大的，后来更正为，自由能才是生命的源泉。薛定谔眼里的生命就是一团活生生的自由能，也是普里高津世界里，不断获取自由能的开放的耗散结构。他既是《人民日报》鼓励年轻人做的、不屈不挠的“斗战胜佛”, 也是悲悯众生、大慈大悲的观世音菩萨。而统计学家眼里的佛，却应该是这条神秘的钟形曲线。

没错，这个神秘的钟形，就是伟大的高斯分布，她是佛的身姿，无时不有，又无处不在。中心极限定理（Central Limit Theorem）告诉我们，即使你不能描述单一的随机事件的发生，大量这些单一随机事件的群体行为却服从高斯分布。高尔顿设计了一个钉板实验，切实验证了这条曲线，并从统计的观点解释了生物遗传现象；1994年美国畅销书《钟形曲线》（The Bell Curve）则根据大量测试数据，得出东亚人智商最高的客观的结论；不一而足。这或许就是“一花一世界，一叶一如来”的统计学解释。

高斯曲线有着优美的身形，无处不在的神秘感，还有着倔强的性格：打碎了，揉烂了，被傅里叶变换了，仍然还坚持自我。两个高斯分布的独立变量 X,Y 的和 X+Y 或者差 X-Y，服从另一个高斯分布：

反之也成立，1936年 Cramer 证明了两个独立变量 X,Y 和（X+Y）如果服从高斯分布，则X，Y也分别服从高斯分布。

在傅里叶分析中，人们观察到，合适方差情况下，高斯分布是傅里叶变换算子的特征向量，也就是说高斯分布代表着她自己的频率分量。举个例子，如下的方程式就完美地将高斯分布与她的傅里叶变换关联。佛都是顿悟了自身的觉悟者。

最大熵原理说：一个封闭的有固定内部能量的系统，平衡态时候熵最大；而最小能量原理则告诉我们：一个封闭的有固定熵的系统，平衡态时候能量最小。这其实是一件事情的两种不同的说法。这引出了高斯曲线更奇妙之处，她可以在给定能量的前提下，最大化系统的熵。对一瓶给定温度的气体（能量固定），研究发现某个粒子按照某个速度运动的可能性服从高斯分布。

“事物由不同层次的随机变量展现出来的信息来表达，不同层次上的随机变量携带不同的信息，共同组合影响上一层的随机变量的信息表达，而随机变量对外表达的信息则取决于该随机变量的条件概率分布”。底层的多个独立的随机变量，如果都服从高斯分布，根据上文描述的特性，可以推断，一层层堆叠构成上层的随机变量之后，仍然服从高斯分布。而这个多个独立的服从高斯分布的随机变量的堆叠过程，就是典型的高斯过程。高斯过程是高斯概率分布在随机函数空间的表现形式。

深度学习中的因果

菩萨畏因，众生畏果。NIPS 2017上，Ali Rahimi开撕，现在的深度学习是重果不重因的炼金术，Yann LeCun则反驳说：如果你吃了一个鸡蛋觉得味道不错，何必知道是哪个母鸡下的呢？！（原话不是这样的，这是笔者蹩脚的翻译）。Ali对于没有理论依据的深度学习结论的忧虑，展现出其菩萨的一面：菩萨深知因果循环，所以主张从源头上约束，也就是起心动念时都要看好，莫种恶因；LeCun与众生不识因果，若种下恶因，果报来时悔之晚矣。

Bayesian学派的解决方案看起来是更接近因果的，他们从先知后觉的Bayes推理（Bayesian Inference）入手：

其中，p(⍬) 是在我们没有看到数据之前，一个参数的先验概率；而 p(D|⍬) 称为似然（likelihood），它是数据 D 在给定 ⍬ 情况下的概率分布。如果将Bayesian推理应用到深度神经网络中，人们就可以获取在给定训练数据集的情况下，神经网络权重 W 的后验概率分布 p(W|D) ：

进一步，人们还可以得到神经网络输出的后验概率、不同大小的神经网路，以及这些不同的神经网络对应的输出。

如果我们再假定：p(w) 先验分布为高斯分布，训练后的目标数据也遵循高斯分布，可以推导出 p（w|D）的形式，然后最大化 p（w|D），发现其损失函数是通过权值衰减（weight decay）最小化的， 这是现代神经网络算法中优化最大似然的常见方式。于Bayesian推理而言，最大似然就是找到一组权重 w*，使得数据集 D 的出现的可能性最大：Max (p(D|w*)) 。而学习这个权重w，就是不断看到训练数据后，持续改变我们原来对权重参数的认知。

在《薛定谔的滚与深度学习中的物理》一文中，笔者整理过，最大似然方法里“似”的“然”，就是一种最低自由能的状态，或者说对外展现出最大信息熵的状态。而神经网络一层层提取信息的过程，就是尺度重整化（Scale Renormalization）：“合理的尺度重整化保持了系统哈密尔顿自由能的不变性……每一次尺度变换后，自由能保持不变……能量的概率分布不变……重整化群给出了损失函数，也就是不同层的F自由能的差异，训练就是来最小化这个差异。”Bayesian推理与深度学习两者，在这点上殊途同归，都遵循这个物理本质。

Al想要的因果，显然不仅仅是其中的物理原理，这些人类已有的观测结论。笔者对于让机器真正理解因果的好奇，也是远远胜过发明永动机或者统一相对论与量子力学。随机变量相互独立且遵循高斯分布是很强的假设，What if p(w) 不是高斯分布呢？ What if 这些随机变量不是独立的呢？目前，神经网络还不会主动问“What if”这样的问题，会问的，只有人和佛。

从炼金术走向科学：强人工智能，需要深谙因果

同一个论坛上，图灵奖得主、贝叶斯之父 Judea Pearl 的报告《机器学习的理论障碍》（Theoretical impediments to machine learning），澄清了这个问题，同时也抛出了老人家对于让机器理解因果的深刻见解：看到（Seeing）是相关（Association P(y|x) ），而做到（Doing）是介入（Intervention P(y|do(x),z) ），想象（Imagining）是反设事实（Counterfactuals P(yx|x',y') ）。针对因果关系的不对称性，Judea提出可以丰富概率论的数学语言，将Bayesian Network 发展为 Causal Network，从而也可以将基于归纳的炼金术，发展成基于演绎的因果推理。

正如Judea在大会上总结的：缺乏现实模型的数据科学可能是统计学，但几乎不是科学；人类级别的强人工智能不可能从 model-blind 的学习机器中出现。也就是说，想要强人工智能，深谙因果是绕不过去的门槛。这里提一下，所有现在的 Chat-Bot 聊天机器人或智能客服，都还没有跨过这个门槛。Judea讲座是NIPS上的一股清流，无奈曲高和寡。何时才能“曲高”不“和寡”？

夸张一点说：世界上的万事万物都只有两种状态：高斯分布或去往高斯分布的路上，除非……，除非有一种神秘的力量、自由的能量，阻止这个趋势。这种神秘的力量，是地球的太阳，是普利高津眼里的耗散结构，是释迦牟尼身边的菩提树，是世人应该有的修行。Judea在儿子Daniel被恐怖分子斩首后，为缓解各民族之间的仇恨多番奔走，成了他晚年的修行。每个人都在做自己的人生修行，修行就是去高斯的过程，其中应有儒家的入世，道家的淡然，佛家的悲悯。To be，or not to be？ Remember me!？ Fine, Anyway.

参考资料：

http://www.science4all.org/article/shannons-information-theory/

http://dlab.clemson.edu/11._Erwin_Schrodinger_-_What_is_Life__1944_.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_minimum_energy

https://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15782-f06/slides/bayesian.pdf

http://www.askamathematician.com/2010/02/q-whats-so-special-about-the-gaussian-distribution-a-k-a-a-normal-distribution-or-bell-curve/

https://www.zhihu.com/question/263886044/answer/274543455

http://web.cs.ucla.edu/~kaoru/theoretical-impediments.pdf

作者：王庆法，数据领域专家，首席数据官联盟专家组成员