被誉为数学界亚历山大大帝的希尔伯特在儿时未显露出任何天赋。但经过高中的蜕变，他激发出了对数学的热情，走上了数学之路。青年希尔伯特因彻底解决代数不变量理论中“戈丹问题”的壮举，而成为最受瞩目的后起之秀（参见上篇《数学世界的“大卫王”：普通娃如何成为数学翘楚》）。后来，他被邀请前往哥廷根大学，在那里，希尔伯特迅速成为数学界的领袖人物。然而，随着希特勒的上台，他在晚年遇到了巨大的困境和挑战......
撰文 | 丁玖 （美国南密西西比大学数学系教授）
成为哥廷根的引力中心
1892年10月12日，成了不变量王子的希尔伯特迎娶了太太，过上了幸福的家庭生活。在后来长达半个世纪的婚姻中，双方均感满意，仅有的遗憾是唯一的爱情结晶弗朗茨终生有精神问题。在这之前，当了八年副教授的赫尔维茨接受了苏黎世瑞士联邦工学院的正教授聘书，而闵可夫斯基几年前服完兵役后也去了波恩大学任教。柯尼斯堡的三剑客只剩下希尔伯特“形影相吊”，然而他们三人之间的友谊和通信一直持续到后两人的先后谢世。
当年八月，教授会一致同意，由希尔伯特接任赫尔维茨的位置，而闵可夫斯基在波恩也被晋升为副教授。下一年以希尔伯特对e和π之超越性简短证明开始，他放开了不变量，向数论进军。导师林德曼接受了慕尼黑大学的位置，教授会将希尔伯特放进了下一任正教授的三人候选名单上报柏林教育部，主管的官员十分看重克莱因的意见，于是他在三十一岁的希尔伯特名字上画了一个圈。而且他还询问被提拔人，谁可以继任他的副教授之职？
然而，波恩的数学家不放闵可夫斯基，所以他迟迟去不了柯尼斯堡，直至1894年春才能赴任。两位亲密的朋友，不光继续他们在数论领域的讨论，而且又可以在苹果树下讨论了。然而到了年底，由于韦伯将去斯特拉斯堡大学，哥廷根空出一个正教授的名额，克莱因抓住机会，向上级极力推荐希尔伯特，很快新的任命书寄给了后者。
希尔伯特只好与闵可夫斯基暂时告别，不过他们最终会在哥廷根共创辉煌。1895年3月，他来到高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、狄利克雷（Peter Gustav Dirichlet，1805-1859）和黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）工作过的地方。恰巧，这一年是高斯到达哥廷根一百周年。同一年，闵可夫斯基接替了希尔伯特在柯尼斯堡的正教授职位。
希尔伯特在哥廷根正式工作到法定的六十八岁，历时三十五年，这里是他的第二故乡。在最初的三年，他完成了德国数学会邀请写作的《数论报告》，它有五个部分，打印的手稿近四百页，其创新思想推动了同调代数的发展，统一了代数数域。其后两年间，他用公理化方法重写了欧几里得几何，用新公设代替了两千年前的公设，修补了《几何原本》的逻辑漏洞，让人们懂得基于直觉的“点、线、面”概念可以分别代之以看似奇怪的“桌子、椅子、啤酒杯”。1899年他出版了名著《几何基础》。之后他转向黎曼命名的“狄利克雷原理”，在一年内解决了这个与拉普拉斯方程有关的属于几何函数论的重大问题。
这时，新世纪的钟声响了。1899年底，翌年八月将在巴黎召开的第二届世界数学家大会邀请希尔伯特做大会报告。在1896年的首届大会上，庞加莱和赫尔维茨分别关于数学与物理相互关系及现代函数论发展的演讲最令他心动，他罗列了几个可行的报告论题，包括展望新的世纪所面临的数学问题，与闵可夫斯基商量。老朋友回答：“最有吸引力的题材，莫过于展望数学的未来，列出在新的世纪里数学家应该努力解决的问题。这样一个题材，将会使你的讲演在今后几十年的时间里成为人们议论的话题。”
闵可夫斯基的预言不假，今日数学界之外的人也知道希尔伯特的大名，或许正因为那二十三个数学问题的花名册。希尔伯特一旦接受任务，行动起来就会慢得出奇，之前他写作《数论报告》时常让闵可夫斯基来信催促。然而，慢有慢的好处，最大的好处是：完成的作品几十年内不会被人遗忘。
这一次，闵可夫斯基再次施加援手，不断与他讨论。希尔伯特于七月中旬寄给他名为“数学问题”的讲演稿，他和赫尔维茨仔细推敲，提供建议，包括缩短演讲时长。7月28日，演讲稿寄还给了希尔伯特。
本来希尔伯特的演讲应用在数学家大会的开幕式上，但由于直到七月他才写出初稿，发出的会议日程表未列他的演讲。最终他只能在“一般问题”两个小组的联席分会上做此报告。然而，这场报告在数学上吹响了向新世纪进军的号角。它的内容如此重要，以至于希尔伯特传的作者在第十章《数学的未来》全文重登了它。
进入二十世纪，盛名之下的希尔伯特探索的领域更加广阔，他的主要工作包括数论（用存在性论证解决了古老的华林问题）、积分方程（这是泛函分析中希尔伯特空间的来源）、数学基础（他是三大学派之一形式主义学派的领头羊）。1902年，克莱因利用对教育部的影响力，给哥廷根增加了一个正教授名额，把闵可夫斯基从苏黎世联邦工学院请到这里，后者和希尔伯特从此肩并肩地工作到1909年病逝。是年，希尔伯特悲痛地写下了他一生中的第二篇悼文，第一篇是悼念1897年去世的维尔斯特拉斯。闵可夫斯基在后半生也钟情于物理学，尤其研究了时空的四维空间，他和希尔伯特主持的电动力学讨论班，吸引着像玻恩（Max Born，1882-1970）这样的未来量子力学先驱，甚至导出了与爱因斯坦的狭义相对论类似的思想。闵可夫斯基早逝后，希尔伯特继续把眼光投向了新的物理，如气体动力学理论，并在广义相对论方面作出了杰出贡献。
在希尔伯特的吸引力下，“打起背包到哥廷根去！”是当时一大批青年才俊的理想。除了来自德国的，如布鲁门萨尔（Otto Blumenthal，1876-1944）、外尔和柯朗，也有来自世界各地的年轻人，如波兰的斯坦豪斯（Hugo Steinhaus，1887-1972）。这几人后来分别于1898、1908、1910、1911年在希尔伯特门下获得博士学位。年轻的冯·诺伊曼还当过他的助手。希尔伯特为哥廷根大学共指导了六十九名博士生，其中许多人成为著名数学家。中国现代数学家中也有出身哥廷根的，他们赴德也许没能直接拜希尔伯特为师，却有机会成为希尔伯特同事或弟子的学生，如魏时珍（1895-1992）、朱公瑾（1902-1961）、曾炯（1897-1940）、蒋硕民（1913-1992），他们分别于1925、1927、1934和1935年获得博士学位，其中曾炯亲得伟大的女代数学家诺特（Emmy Noether，1882-1935）的指导，卓有成就，可惜英年早逝。
上个世纪前三十年间，在哥廷根直接获得过希尔伯特教诲甚至只短暂沐浴过他思想光芒的那些年轻数学家和物理学家，都深深铭记着这位数学科学家对他们的巨大影响。当柯朗完成《数学物理方法》这部经典著作的初稿时，虽然自己的老师希尔伯特并未参与写作，但柯朗毫不犹豫地将希尔伯特署名为共同作者。在1924年该书初版的序言中，柯朗写道：“本书的责任由我个人担负，可是，本书加上我的老师、同事和朋友D. 希尔伯特的名字，这是正当的，盖因从希尔伯特的一些论文和讲义中采取了许多材料，并且希望本书表现一些希尔伯特的精神，这种精神在数学研究和教学上具有决定性的影响。”
在一篇为《自然科学》撰写的《数学物理方法》的书评中，作者写道：“写上希尔伯特的名字，这不单是一种奉献。全书闪耀着希尔伯特精神的光芒——热烈地追求简单明确的真理，把繁琐芜杂的东西抛到一边，并以无比清晰的巨匠手法阐明认识要点之间的相互联系——这种基本的精神，以巨大的科学热情熏陶了整整几个世代的研究者。”
“希尔伯特精神”的功效，可用冯·卡门在其自传 The Wind and Beyond 中的一句话概而括之：“希尔伯特是那个能把手指放在问题的核心并以一闪而过的理解照亮头脑的人。”冯·卡门回忆起，在他成长于哥廷根的那些年，希尔伯特“总是给我启发，因为他很快就发现了一些关系，这些关系照亮了黑暗领域，并解决了其他数学家多年来一直在研究但没有成功的问题。”作为工程学家和应用数学家，冯·卡门甚至这样说：“从永恒的角度来看，我认为科学史上最伟大的数学家是希尔伯特，因为他将积分方程理论发展成为一种工具，使科学家能够在曾经混乱不堪的领域取得突破。”
迷人的教学风格
希尔伯特同时也是伟大的教师，这与历史上的一些伟大科学家不同，比如牛顿的课堂教学很蹩脚，以至于听者无几。在关于新世纪二十三个数学问题的那场报告中，希尔伯特引用了一位老法国数学家曾经说的话：“一种数学理论应该这样清晰，使你能向大街上遇到的第一个人解释它。”他在教学和讲演中也是把“清晰”放在首位的。
在希尔伯特主持的讨论班里，他对演讲者的要求相当苛刻。我不知道控制论之父维纳（Nobert Wiener，1894-1964）上世纪三十年代在清华大学讲课一年的效果如何，但他在自传中花了十多页篇幅评述了自己在哥廷根的一次讲演。之后他没讲的故事是这样的：演讲结束后，大家照例去餐厅共进晚餐，在席间希尔伯特开始谈及最近几年在此听到过的演讲：“现在的演讲比过去差远了。在我年轻的时候，人们都很讲究演讲艺术。演讲人对于自己究竟要讲些什么以及怎样才能讲好，考虑是很多的。现在的年轻人却不这么干，在哥廷根尤其如此。我想世界上最差的演讲恐怕就是在哥廷根做的。今年情况更坏，我压根儿就没有听到一次好讲演。最近尤其糟糕，不过，今天下午有个例外……”
这时，那个年轻的美国“神童”以为希尔伯特要夸奖他了。“今天下午的这个演讲，”希尔伯特继续说道：“是最近所有这些讲演中最糟糕的一次！”
维纳没好意思把希尔伯特的这个差评放进自己的自传。然而他还是留下一句对后者的无限敬佩：希尔伯特是“能够把巨大的抽象能力与实际的物理意义密切结合起来的伟大数学家，是自己学习的楷模”。
冯·卡门在自传中比较过自己的博士导师普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953）和希尔伯特的教学风格：“尽管普朗特具有远见卓识，是一位伟大的思想家，但他却是一位乏味的讲师，与希尔伯特截然相反，希尔伯特的智慧和逻辑令人着迷。” 冯·卡门由此总结道：“为了发挥作用，教师必须确保科学初学者先掌握基本原理，然后才能理解例外情况。”这应该也是他从希尔伯特的课堂及讨论班中获得的真知灼见。
正直与诚实的人
科学家，无论名气大小，首先是人，他的“人性”会在其一生中充分显露。有爱因斯坦式的科学家，坚守道德阵地，追求人类正义，也有比贝尔巴赫类的科学家，效忠纳粹思想，参与人间迫害。希尔伯特是如何对待偏见甚至恶行的？
历史最悠久的偏见对象也许是妇女。对数学和物理都作出杰出贡献的诺特于1907年在埃尔朗根大学获得博士学位，然后在那里的数学研究所工作了七年，却没有收入，就因为她是女性，备受性别歧视，不能获取正式学术位置。1915年，希尔伯特和克莱因将她请到哥廷根，校方却连讲师的资格都不给她。教授会的歪理是：“一个女人怎么能做讲师呢？如果让她当了讲师，那她以后就会成为教授，成为大学评议会的成员，难道能允许一名女人进入评议会吗？”对此，希尔伯特大叫一声：“先生们，我不认为候选人的性别是不能让她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是澡堂。”
然而，在当时的德国，像希尔伯特这样不抱偏见的教授太少了，世俗的力量实在太强大。尽管他力排众议，诺特依然与讲师资格无缘，爱才并有一颗善良之心的希尔伯特只好自己想办法帮助她留在哥廷根，比如以他的名义开课，但却由诺特主讲。在诺特以希尔伯特的名义教书第四年时，是一战结束后的第一年，当时德国社会变革的成果之一是提高了妇女的社会地位，给了她们更多的权利。此时哥廷根大学终于批准了诺特申请的无薪讲师资格。这时距离她获得博士学位十二年。
希尔伯特经历了两次世界大战。首次大战一开始，他就认为战争是愚蠢的。政府让著名学者和艺术家签署一份《告世界文明书》，其首句为“说德国发动了这场战争，这不是事实。”作为最有声望的数学家，克莱因和希尔伯特都被邀请签名。作为“极端的爱国主义者”，克莱因毫不犹豫地做了，而希尔伯特因不能判断宣言上所言是否属实而拒绝签名。另一位未签名者是爱因斯坦。希尔伯特为此付出了代价，比如那些爱国的学生不进他的课堂，认为他是“卖国贼”。但不久后，克莱因为自己没有核实内容就冒失签名而后悔了。
一战结束前，品格高尚的法国著名数学家达布（Jean Gaston Darboux，1842-1917）去世，希尔伯特写下了一生中第三篇悼文在哥廷根杂志《通讯》发表。然而一群爱国学生要求他撤回对“敌国数学家”的悼念文章，被他严词拒绝。他的第四篇也是最后一篇悼文是纪念两年后去世的他的引路人赫尔维茨。
一战结束后，由于德国是战败国，国际学术界出现了一些孤立德国科学家的声音，较长一段时间也不邀请德国学者参与正式国际学术活动，同时部分德国科学家的头脑也充满着狭隘民族主义的想法。到了1928年，意大利数学界筹备十六年来的第一次正式国际会议，出于科学的道德和目标，恢复邀请德国数学家参加大会。然而，许多德国人不想出席，比贝尔巴赫则是他们当中叫嚷得最凶的一个，他甚至发出一封公开信，呼吁德国大学甚至中学抵制这次会议。
希尔伯特回应了公开信，旗帜鲜明地表明了自己的立场：“我们相信，比贝尔巴赫先生的做法将给德国科学带来不幸，并使我们受到来自友好方面的正当批评……意大利同行们不惜花费时间和精力，为伟大的理想主义而奔走……在这样的情况下，对这次会议采取亲善的态度，似乎是应有的正直行为和最起码的礼貌。”
当年八月，当已六十六周岁的希尔伯特率领由六十七名数学家组成的德国代表团进入会场时，在片刻的鸦雀无声后，一阵暴风雨式的掌声打破了宁静，全体代表起立欢迎。希尔伯特用康德式的哲理性向全场演讲：
“应该看到，作为数学家，我们是站立在精确科学研究的高山之巅。除了义不容辞地担当起这个崇高的职责，我们别无其他选择。任何形式的限制，尤其是民族的限制，都是与数学的本质格格不入的。在科学研究中人为地制造民族的或种族的差异，是对科学极端无知的表现，其理由是不值一驳的。
“数学不分种族……对于数学家来说，整个文明世界就是一个国家。”
希尔伯特还一直以真诚的态度对待科学研究。爱因斯坦早已构建引力理论的基本原理，但花了八年才找到最终形式。1915年初夏，希尔伯特把爱因斯坦请到哥廷根就广义相对论做了一周讲座，之后他开始研究场方程。当年11月11日和25日，爱因斯坦向柏林科学院寄去两篇“广义相对论”的文章，希尔伯特则于同月20日向哥廷根皇家协会提交了“物理学基础”，用公理方法推导出引力场方程。希尔伯特完全相信爱因斯坦是该理论的创始人，两人一生中从未发生过关于场方程的优先权之争。希尔伯特这样说道：
“哥廷根马路上的每一个孩子，都比爱因斯坦更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是爱因斯坦而不是数学家。”
希特勒上台后，纳粹思潮席卷德国，犹太人纷纷遭殃。希尔伯特虽因血统“高贵”可以“高枕无忧”，但他心系数学世界，关怀犹太弟子，没有充当纳粹集团的鹰犬。在他生命的最后十年，他目睹疯狂的祖国、凋零的科学、冷清的校园、被迫害或被迫逃离的犹太人同事。当新任纳粹教育部长问他“数学研究所是否真的因为犹太人的离开而遭受了如此大的损失？”他愤而答道：“损失？它已经不存在了，不是吗？”
在最后的那几年，希尔伯特夫妇孤独地活着，他的弟子外尔、柯朗等都先后去了美国；他的数论同事兰道（Edmund Landau，1877-1938）在1933年被剥夺教书资格，五年后去世；他的代数同事诺特1933年底逃亡美国，但于1935年春因手术去世。在希尔伯特七十周岁生日当天，伴随着他的全集出版，各地数学家齐聚哥廷根为他举杯，可是十年后的八十周岁生日，没有了聚会，只剩下一篇列数他数学贡献的颂词，其中的犹太人学生名字集体失踪，名字未被写进颂词的布鲁门萨尔却从荷兰寄来对导师的生日贺文。不久，希尔伯特跌倒在大街上，在身体的苦痛中苟延残喘了一年多后，与世长辞。
纳粹只能得意于一时，正义终将战胜邪恶。那些助纣为虐的科学家最终的命运也是“名誉扫地”，不用说比贝尔巴赫，甚至国际数学家大会的耐望林纳奖，也于2018年改名为算盘奖（Abacus Medal），盖因芬兰数学家耐望林纳（Rolf Nevanlinna，1895-1980）在二战中效力纳粹。当深受希尔伯特影响的匈牙利裔美籍科学家冯·卡门于二战结束前的德国审问他的老师普朗特时，按他自传所说：“我不相信我曾经微笑过。”唯有像希尔伯特这样正直的德国科学家，“出污泥而不染”，表现出高尚的情操，因而八十年来一直被人颂扬。
康德一生追问“头顶的星空和内心的道德”，希尔伯特一生践行康德的格言。当退休时成为家乡柯尼斯堡荣誉市民时，他的受礼演讲也留下与不可知论对着干的一句豪言：
“我们必须知道，我们必将知道(Wir müssen wissen Wir werden wissen。”
这个刻在他墓碑上的“希尔伯特理想”，永远激励人们向前。
写于2023年9月9日
2023年10月14日修改
美国哈蒂斯堡夏日山庄
本文受科普中国·星空计划项目扶持
出品：中国科协科普部
监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
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