城市越大，机会越多？这背后的法则是→

不同的系统，共同的规模法则|图虫创意

为什么大象的体重是老鼠的10000倍，但所需要的药物剂量只有老鼠的1000倍？为什么大城市相比于小城市，薪资更高、机会更多？许多跟尺度有关的问题，都可以在规模法则中找到答案。今天就给大家介绍一下什么是规模法则。

1. 什么是规模法则？

科学家总是期待在复杂的世界中总结出事物统一的规律，物理学家在寻找基本定律这条路上已经走了很远，早在17世纪，开普勒就从第谷的天文观测数据中总结出了行星运动的三大定律，而对于复杂科学来说，一切才刚刚开始。

复杂科学研究的对象是复杂系统，目前还没有一个完美的统一理论将所有复杂系统都囊括进来。不过有一个理论存在这样的潜力，无论是丰富多样的生命系统，遍布世界形态各异的城市系统，还是看似随机波动的经济系统，都存在着一个统一的刻画形式——这就是规模法则。

规模法则描述的是系统中两个属性之间的相对增长关系。比如生物体的代谢率相对于体重就遵循规模法则。代谢率可以看成是生物体内各种生命活动的速度。如果我们把生物的体重作为变量X，生物的代谢率作为变量Y，可以发现代谢率随体重的变化（大致）遵循 Y=X^3/4的幂律关系。也就是说，当生物的体重从1增加到2时，代谢率并不是同样线性的从1增加到2，而是只从1增加到1.68。

这是1930年瑞士生物学家克莱伯（Max Kleiber）在其著作中发表的“克莱伯定律”。根据他的观测数据，从老鼠到大象，对于体重范围横跨近7个数量级的物种，均满足这一规律。要知道生物一贯以其多样性著称，这个发现堪称生物领域的开普勒定律。

另一个典型的例子是城市系统，虽然每个城市的地理特点、文化特征、人口数量等等具有显著的差异，但我们发现，如果以薪资、专利数量、GDP等指标来衡量城市的创新能力，那么城市的创新能力和人口规模之间遵循非常显著的定量规律，也就是（大致为） Y=X^1.15的幂律关系。这意味着从人口数十万的小县城，到数百万的城市，再到千万量级的超级大都市，随着城市人口规模的扩大，城市的创新能力不是同样的线性增长，而是以更快的超线性速度增长。不过，正如硬币有其两面性，城市发展的阴暗面，包括犯罪率，环境污染等，也会随着城市规模的扩大，以更快的速度扩大。

除了刚刚提到的生物系统和城市系统，对于国家系统，GDP和创新能力等指标与国家规模之间的关系；对于公司系统，公司的利润、收入和债务等指标与员工数量之间的关系等等，这一系列现象都遵循普遍的规模法则，可以用Y=X^α这一幂律关系来刻画，这里的 α 被称为幂指数，是决定系统性质的关键。当幂指数α=1，意味着Y和X是同比例缩放，Y随着X线性增长；而更常见的情况是α≠1，此时Y和X是非同比例缩放——我们将这种非线性的现象称为规模法则。α是大于1还是小于1，会带来系统性质根本上的差异。

2. 规模法则解释系统终极生死

规模法则的关键在于，它引入了“尺度”这一全新的视角来看待复杂系统。许多跟尺度有关的问题，看似毫无关系，但都可以在规模法则中找到答案。比如，为什么大象的体重是老鼠的10000倍，但所需要的药物剂量只有老鼠的1000倍？为什么大城市相比于小城市，薪资更高、机会更多？规模法则都可以给我们答案。

而规模法则之所以重要，更关键的原因在于，它可以揭示复杂系统的演化方向，直指系统的终极生死问题。我们知道，所有生物都存在生长上限，最终走向死亡。因为生物的生长遵循一个幂指数小于1的函数，而生长的损耗却是一个线性函数，这就像是一个水桶，流入的速度和流出的速度并不一样。所以必然存在一个时间点，此时生物的生长速度等于损耗速度，这就是生物体停止生长的时候。

我们也可以用相同的方法分析城市系统的生长。城市和生物系统非常不一样，城市的生长遵循幂指数大于1的超线性函数。从这个角度来看，城市的生长其实是没有上限的。然而，与城市的超线性生长相伴而生的，还有同样超线性生长的阴暗面。在城市快速扩张的同时，同样快速暴增的犯罪率、失控的污染等负面效应，也在逐渐吞噬整个城市。

圣塔菲研究所前所长韦斯特（Geoffrey West）认为，城市的发展存在一个在有限时间内可达到的、且无法避免的“奇点”，到那个时候，我们拥有极高的技术水平、极高的社会生产率，但同时也会面临极度恶化的环境。这一时刻，很有可能就是城市的崩溃点。

关于规模法则背后的机制，目前认为系统内部进行信息交互的网络结构是关键。但具体的机制模型还没有一个统一的定论。不过，规模法则是目前少有的具有普适特性的复杂系统建模理论，也为我们开辟了一个全新的视角，来理解系统的性质，理解系统的演化、生长，甚至死亡。

本文为科普中国·星空计划扶持作品

作者：陶如意 北京师范大学系统科学学院博士生

审核：叶盛 北京航空航天大学教授

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司