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CPU的工作原理3——如何加减乘除

孙老师聊人工智能
原创
中国计算机学会GESP技术委员会主席、科普工委委员
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我们知道CPU的主要功能就是运算,加减乘除运算的基础是加法运算,所以我们先来看如何制作一个加法器。

我们所说的加法器当然是指二进制的加法,请看下图:

左边表格是二个一位二进制数相加的情况分析(二进制没有2,只能通过进位用10描述)。目标有了,怎么实现呢?之前介绍过的异或门的逻辑与此很像(右边的表格),我们看到前三种情况的加法,异或门可以直接实现,而最后一种情况1+1的结果是0而不是10,这里面其实缺少了一个进位,我们可以增加一个与门,解决进位的问题。

电路图是这样的,其中异或门的输出作为“和的个位数”,与门的输出作为进位。最终实现的结果如下表:

可能有人会想,1+1=10没问题,但0+0=00,0+1=01很是奇怪,能否把前面的0去掉呢?其实我们不用担心,这只是与我们的日常思维习惯有些冲突,并不影响结果的正确性,毕竟在一个数字前面加0和不加0的结果都一样。

这样我们就实现了一位二进制数的加法电路,使用这个符号表示。

为什么叫“半加器”呢?因为还不完善,因为一个完整的加法必然要考虑多位数相加,刚刚分析的只是一位数相加,如果有多位数,必然要考虑前一位数字相加后可能有进位,这个进位也要加进来,所以还可以对这个电路继续完善,直至满足多位数相加,这个完善的加法电路就称为全加器,用这个符号表示。

有了半加器、全加器,就可以实现多位二进制相加了,例如二个八位二进制数相加的电路如下:

可简化为:

减法器的过程稍显复杂,因为减法不考虑进位,但需要考虑借位,而借的这一位如何记录,如何归还都是问题,所以我们要想办法将借位化解掉。我们先从熟悉的十进制减法入手,例如35-16,用借位法很容易得出结果19,但现在我们要避免借位,怎么做呢?我们可以把式子变换一下:

35-16=35-16+100-100=35-16+99+1-100=35+(99-16)+1-100

这样99-16就不涉及到借位,因为对于二位数来说99是最大的。我们继续变换式子:

35+(99-16)+1-100=35+83+1-100=118+1-100=119-100

这时又遇到减法,但是不涉及借位,只需把百位的1去掉即可,结果是19。虽然看起来绕了很大一个弯路,但我们成功地避免了借位。

接下来我们来看二个八位二进制数相减的例子:

参考前面十进制减法的例子,把这个式子转换为:

这其中涉及到二次减法,其中:

观察一下结果会发现,差和减数是按位取反的,也就是每位0、1正好相反,这个逻辑可以使用如下电路实现:

但问题是,该电路只会对输入取反,而我们要做的是既能做加法也能做减法的电路,所以应该在减法时实现反转,改造电路如下:

当做减法时,取反端=1,才对输入取反,如果是加法,取反端=0,输入不取反。我们将这个电路简化一下,称为求补器:

有了求补器,我们就可以将第一个减法变为加上取反后的结果:

这样就只剩下最后一个减法,减去100000000,这个逻辑很简单,只需将首位变为0即可,当然是在做减法的时候。终于我们将所有的减法都化解掉了,现在我们使用加法器,再配合异或门就可以实现加减法运算。

图中有三个SUB端,这就是加减法的切换开关,当SUB=0时,进行加法运算,当SUB=1时,进行减法运算。在减法中,输入B的数据会先通过求补器进行取反,然后再和输入A相加。另外通过加法器的CI(进位输入)可以实现结果+1(因为SUB=1),最后加法器的CO进位输出(也就是结果的首位数据)通过一个异或门处理,减去1,最终得到最后的结果。

至此我们的电路已经能做加减法了,而乘法就是多次加法,除法就是多次减法,所以我们也就能实现乘除的运算了。

评论
科普655c67cf13acd
儒生级
知道了
2023-11-23
飞马腾空
太师级
2023-11-21