控制理论，一段故事（二）

上节我们讲到，小王与小张共同实验的结果效果上还不错，数学上没有什么问题。但是，数学上暂时没问题不一定其他地方没有不足，最主要的是，小张并不喜欢看公式，虽然我们介绍时没用公式，但几乎每个点深入下去都是公式，而每个人在工作现场待久了，都喜欢看图，看仪表的数字，或者直接看状态。搞了这么多，说白了我就是烧个水，你这边直接摆一堆公式，当然不怎么被人接受。所以一个很自然的想法就有了，能不能把上面这些公式和定理变成图呢？

单说图好办，我们在介绍“闭环控制”时其实就涉及到图了，把系统各个部分的功能抽象一下，画一个框图没有什么问题，或者根据信息流动，绘制一个更简单的路线图，一般被叫做信号流图。让小张困惑的是，怎么把上边介绍的其他东西，尤其是重要的判断稳定性的几个工具变成图？

这天来了一位朋友叫小文，小张聊着聊着就说到了这个话题，小文看了看之前的成果，扫到了之前小王所写的笔记“对于传递函数来说，当使分母为零的点在坐标系i轴的左侧时，它是稳定的。”，来了灵感，说既然这些点这么重要，咱们把这些点在图上都画出来不就得了？

于是他们提出了一种方法，叫根轨迹法，它的思路是这样的：我们前面聊到，零极点的位置会影响系统的性能，而系统的参数又是可以变化的，这就会导致零极点位置的变化，那就可以思考这样一个问题，能不能以某一参数为自变量，画出来零极点的变化图，从而分析系统。

他们把开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。并且经过大量实验总结了一系列绘制步骤，根轨迹法由此诞生。根轨迹比公式是要直观的，只要得出了根轨迹图，就可以直观的看出系统的极点什么时候会出左半平面，而前面提到过，出不出左半平面又与系统稳定息息相关。这样都变成了图问题了。

有了根轨迹，小张在设计时只需要看图，一看，轨迹没出左半平面，很好。稳定的！这速度比用前文提到的劳斯判据判断，快了半顿盒饭的时间。就是大量实验和推导发现的画图规则记起来有些麻烦，有时还要考虑这是常规的，参数的，还是零度的。不过对于计算机技术来说，这些都是小事情啦。

小文刚想离开，在旁边思考的小张拦住了他说，“事情还没结束呢。现在图是有了，我能判断系统的性质了，但问题是我判断完怎么办，系统性能不好怎么改进？”

小文听到这个问题，也觉得目前的结果就做了一半，于是回去继续看实验数据图纸，然后他发现了一些问题，有些系统可以拆成两项相乘的形式，相对于单独一项描述的系统，相乘之后的根轨迹变化似乎有什么规律，这是一个启发。进而和小张一起开发了基于根轨迹的对指标的调节方法，也称为校正。说到这里，小张有些兴奋，但随即问道，说我知道这个意思，数学上设计一项乘上去调整指标，但毕竟是公式，那么实际中怎么实现呢。小文整理了一下思路，讲了这么一段话。

“还记得我们从哪里开始的吗，你之前设计的基于电路和机械的控制器元件，我们列出来了方程，探讨各种概念，后来又画图，但归根结底还是到了这些元件上，那么我们乘上去的这一项，反过来再回去呢？”。小张恍然大悟，“我怎么忘了这事了呢。”

这里多说几句，很多同学和此时的小张一样，接触控制理论时被淹没在数学公式上不知所措，但我们并不是搞数学的，只是用，要记住自己的出发点哈~

说回本题，既然是基于电路和机械设计的控制器元件，那么就涉及到一个问题：电。一开始小张使用的是直流电，这没有什么问题，对于直流电来说，以上的分析方法是比较实用的，但我们知道，为了输电方便，更多时候使用的是交流电，一个简单描述就是正弦函数。面对交流电，小张犯了难，他也做了一些实验，发现在经过控制系统后，交流电不仅大小发生了改变，它的另外一个重要指标也发生了改变，我们对正弦函数图像很熟悉，随着自变量取值，图像在1和-1之间来回往复，上边一半，下边一半。但默认时刻是从大小为零开始，但当信号经过控制系统后，小张发现，有些信号图像在时刻没变的情况下发生了左右移动。

有人就说了，左右移动有什么大不了的？我们可以考虑典型的正弦波图形，有正有负，如果改变的很凑巧，那么就有可能把一个原本设计这个时刻预想的正的信号改变为一个负的信号，从而导致反馈时明明是负反馈，结果效果上变成了正反馈。这里说的正反馈是将差距不断拉大的反馈，我们前边提到的反馈基本都是负反馈，在上述场景中加正反馈还不如不设计。

有人说，我们可以把交流电变为直流电，这个也是一种方法，但除这种方法之外，能不能直接基于交流电进行处理呢？这时候小张主动找到了之前提到的那位小王，好说歹说请了过来，到了现场以后，小王首先注意的不是系统，而是小文的根轨迹图，一边看一边赞叹，嘿！还是你们会玩！一会我学学，看看推导公式后能不能也化成图。

拿到熟悉的传递函数和熟悉的正弦函数输入，小王陷入了沉思，这俩怎么才能联系起来呢，一般的正弦函数是Asinwt，传递函数又是拉氏变换的结果，看着拉普拉斯变换和正弦函数，小王不由自主想起来数学上另外一种变换方法：傅里叶变换，于是有了一个想法，试试傅里叶的变换，手一挥。令：S=jw，从拉普拉斯变换退回傅里叶变换，代入传递函数：

然后得到了两个式子，一个描述幅值，一个描述相位差，分别称为幅频特性与相频特性。

“既然画图方便，那我也试试”，小王看了一眼小文的思路和自己得到的公式，正好有一个自变量w，以它为零时为起点，无穷为终点，画了一条曲线，称为幅相特性曲线。

然后老惯例，稳定性判断。这时候就是新方向了，得小王自己推导，但推导这种活难不倒小王，他抄起一本数学教材和一堆草稿纸就找了个安静的地方开始写，小张也不敢打扰他，只是在旁边看着他的结论，对于第一次接触的人来说，那确实像天书。

过了许久，小王放下笔，“搞定！”，小张凑上来问道，可否讲讲？小王刚想开口念公式，小张补充道，“要不稍微那么简单一些？”好吧。

首先这个幅相特性曲线不怎么完整，如果系统含有积分环节或者等幅振荡时要补圆，补完之后经过严格论证，小王发现以下结论是成立的:

这个结论简单总结就是查极点数圈圈。怎么说呢，系统的开环右极点数记作P，当w从负无穷逐渐变大时，系统开环频率特性曲线所组成的封闭曲线，如果顺时针包围(-1,j0)点的次数为N圈（N>0），若逆时针包围则N<0，封闭曲线绕(-1,j0)点旋转360°即包围一次，则我们可以算一下这个式子：Z=N+P。当Z=0时，系统稳定；Z>0时，系统不稳定。为了跟教材对应，我们这需要说明，在现实世界里，这是一位叫奈奎斯特的人首次提出，因此也称为奈奎斯特稳定判据。

小张利用这些结论解决了很多问题，但他发现这个图像有时候过于复杂，在工程当中不能普遍应用，因此小王又在基础上对这种方法进行了改进，将幅频与相频分开画，并做了许多其他操作，图像变的清晰明确起来（在现实世界里则被称为伯德图）

和根轨迹从图像到校正的过程一样，小王也没有在画完图后就此停止脚步，而是也搞起来了校正，得到了一些结论。

这样，我们就有了两套方法，一套处理直流电、一套处理交流电。但有个问题也一直困惑着小王和小张，那就是到底是直接将交流电变成直流电好，还是现在这种频域方法好，为了做的比较全面一些，他们又调出了之前的实验数据，发现在控制系统分析中，除了稳定性，有时候也需要考虑裕度问题，这个裕度就是指系统能够忍受一定范围的变化还能保持稳定，而通过频域的方法可以直观的表示出幅值裕度和相角裕度。这是它的一个优势。

他们还发现了另外一个重要问题，在我们之前的介绍时，从设计的基于电路和机械的控制器元件，列出来了方程，探讨各种概念，后来又画图，但是如果分析对象不是我们设计的呢？那么反过来了，怎么回去去识别系统的传递函数，由于伯德图可以做实验得到，而图像又反映了系统的一些基本环节，因此可以利用这个工具，对一些控制对象，直接写出它的传递函数。在工程当中也是很方便的。

到了这里，现场安静了一些，无论是时域频域都有了分析方法，小张按部就班的处理日常事务。一切挺好。不过大家也都知道，再好的设计，也会有新需求没有满足的时候，这不，没持续多久，新的问题又来了。

(未完待续）