控制理论，一段故事（四）

小张在前两篇的设计中获得了好处，自然不会停止脚步，于是他和小王偶尔也讨论目前的系统有没有什么可以进一步解决的问题，没成想，不久就遇到了。

在分析内部机理时，小张发现了之前方法存在的一个重大问题，无论是经典控制理论，还是前面提出的线性系统理论，针对的都是线性系统，而对于烧水的锅炉中一些环节来说，大差不差用用还好，真要在这上面改进，一个问题就产生了：它的特性是非线性的，因此前面理论除了PID外，基本不再适用，而对于一些强的非线性环节来说，PID有时也达不到很好的效果。小张突然发现，面对这个神秘的现象，像是一匹黑马突现，将之前的“万能工具”全部推到，又一次束手无策了。当然也并非这么极端，利用泰勒展开式把非线性在某一点附近看作近似的线性系统，然后再回到线性系统。但这里有人就会问，这个方法听上去行啊，但为啥还要继续研究呢？除了前面说的非线性特性影响和精度要求、还有一些注意点，比如在设计线性控制器时，通常有必要假定系统模型的参数是合理已知的。然而，许多控制问题涉及模型参数的不确定性。基于不精确或过时值的参数的线性控制器可能会表现出显著的性能退化甚至不稳定。非线性可以有意地引入到控制系统的控制器部分，从而可以接纳模型的不确定性。比如两类非线性控制器：鲁棒控制器和自适应控制器。我们后续会进一步介绍。

对于非线性，小王也很少研究，但他想到了同事小宋，他好像在这方面有了一些深入的见解，因此他就拉着小宋来到了现场。小张一看来了专家，自然积极，先是介绍了自己在梳理整个系统时遇到的一些非线性环节，比如摩擦、饱和、死区（有输入信号，但对应输出信号为零的一种非线性系统典型特性）、间隙和迟滞，以及他通过实验发现的一些非线性特性，比如多平衡点，极限环，混沌等。

多平衡点，顾名思义，就是系统存在多个平衡点，混沌这个概念或多或少也都听说过，对于初始条件的微小差异，非线性系统会表现出一种称为混沌的现象，这意味着系统输出对初始条件极其敏感。混沌的本质特征是系统输出的不可预测性。即使我们有一个精确的非线性系统模型和一台极其精确的计算机，从长远来看，系统的响应仍然无法很好地预测。混沌须与随机运动区分开来。在随机运动中，系统模型或输入含有不确定性，因此无法准确预测输出的时间变化（只有统计方法可用）。另一方面，在混沌运动中，所涉及的问题是确定性的，在系统模型、输入或初始条件中几乎没有不确定性。而很少听说过的，就是小张提到的极限环问题，非线性系统在没有外界激励的情况下可以显示固定振幅和固定周期的振动。这些振荡被称为极限环或自激振荡。

听完小张介绍，小宋心里大体也有了数，他也介绍了自己的一些研究工作，首先对于一种特殊的非线性系统，二阶系统，有一种称作相平面法的图形化方法，用图形来解二阶常微分方程，这种方法的核心就在于在二维平面上画出不同初始值的系统运动轨线，从而分析系统。

其次，对于如何寻找极限环，判断极限环到底存不存在，也有一种比较经典的方法，我们介绍过频率响应方法，但是这种方法不能直接用于非线性系统，因为对于非线性系统来说不能定义频率响应函数，然而对于某些非线性系统，可以对频域方法进行扩展，即后面所说的描述函数方法，它可以用来近似的分析和预测非线性特性，由于缺乏系统的非线性系统分析工具，使得它在实际工作当中不可缺少，在工程应用中描述函数方法，主要用来预测非线性系统的极限环。

描述函数法的基本思想就是假设极限环存在，把系统分为线性部分和非线性部分，同时对于非线性部分进行线性化，得出它的频率表达式即描述函数，而判断极限环是否存在利用了推广后的奈奎斯特稳定判据。

接下来就是核心问题，也就是对于非线性系统进行控制，小宋和同事们也是主要研究这一块，提出了很多控制策略，比如将开关控制和最优控制结合起来的bang-bang控制、增益调度，反馈线性化法等。

增益调度思想是选择分布在系统工作范围内的一组工作点，然后对任意一个工作点，求出其时不变线性近似系统，对每个线性近似系统设计一个线性控制器。在工作点之间，补偿器的参数用差值法（或称为调度法）确定，这样就得到了一个全局的补偿器。

而反馈线性化的基本思想是利用反馈消掉系统中的非线性环节，人们之前处理非线性问题，一个基本思路是利用泰勒展开式把非线性在某一点附近看作近似的线性，但这种思路处理不了大范围的问题，反馈线性化方法也是针对这种缺点提出。

得到了控制方案后，关键问题就变成了稳定性判断，由于方程复杂，非线性系统的稳定性成为一个难题。小宋在这个问题上也花费了不少时间，直到有一天他发现了物理系很久之前毕业的学生小李的毕业论文，小李也在毕业论文中提出了一种基于物理启发的稳定性理论，也就是一个很简单的思想，如果一个系统的能量必然耗尽，那么这个系统必然趋于稳定。这种思想转化成数学语言，就是能量函数正定其导数负定。（李雅普诺夫稳定性理论）

相应的，对于之前提出的外部稳定性和内部稳定性，也有小李意义下的稳定性和渐进稳定性，这种思想引入控制系统稳定性分析之后，线性系统和非线性系统的稳定性问题得到了一个很大的改革，这里提一句，还记得前面提到过的线性二次型控制器吗？那里仅仅保证了最优性，却没有涉及到稳定性，在后来用小李的理论推导下，导出了和线性二次型最优控制推导过程中同样出现的一个黎卡提方程，换句话说，线性二次型控制总是稳定的。这是线性二次型控制的一个重要贡献：把最优性和稳定性连到一起。

特别的，对于非线性系统，针对实际工程当中遇到的困难，即选取的能量函数常常不满足条件，利用不变集理论进行了扩展，也就是所谓的高级稳定性理论。涉及到概念有绝对稳定性，超稳定性，也是非线性控制里面较为经典的结果。

稳定性理论虽然是一种验证工具，但我们反过来想一想，如果我们设计的控制器直接从保持它的稳定性出发，是不是设计起来就比较简单？因此也产生了很多种基于稳定理论的控制器设计的方法。

到这里，我们简单讲完了这段故事。而在书写这行文字的时候，新的故事正在不断发生。