美丽而“无用”的莫比乌斯反演，解决了一类物理问题【上】-

“数论为我们提供了取之不尽的有趣真理——这些真理并非截然孤立，而是有着密切的内在联系，随着知识逐渐增长，我们就会不断发现它们之间新的、有时是完全意想不到的联系。”

——高斯

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

读者，请你把一张纸卷成圆柱形，再找一支铅笔头，将它的底部紧贴在圆柱面外侧，这时笔尖朝外垂直于圆柱面。如果你保持两者垂直，将铅笔在圆柱面上绕一圈，或更一般地，让铅笔垂直于柱面，并沿其上不越过边界圆周的任意一条闭曲线移动一圈，就会发现铅笔尖的指向连续地变动，最后又回到了最初的位置。如果将铅笔头底面紧贴在纸圆柱的内面，做同样的绕圈事，结果一样。这说明这个圆柱面是“双侧”的，它具有内侧和外侧。指定了其两侧之一的定侧，就依赖“右手法则”确定了曲面上任一条闭曲线的定向——正向和反向。这是每一个孩子都能看懂的几何现象。

学过曲面积分的读者都知道，作为积分区域的曲面必须是可定侧的，否则曲面积分就无从谈起。上世纪八十年代，我在密歇根州立大学数学系的博士论文导师李天岩教授告诉我，他是这样教他读初中的儿子入门拓扑学概念的：取一张窄窄的长纸片，不是像上面那样，将两条短对边粘起来形成矮矮的圆柱面；而是先将其中一条短边扭转180度后，再与另一短边粘连。这样也得到了一个纸曲面。然后他让儿子做与上一段相同的试验，结果发现，当铅笔沿着一条方向与长对边差不多一致的闭路，保持与曲面垂直连续绕一圈后，铅笔尖终止的方向却与最初的方向恰恰相反！当然，这个现象当闭路小到只是围绕曲面上一点的圆圈时不会发生，然而导致“调转方向”反常现象发生的闭路的存在性，充分说明这个奇怪曲面有着截然不同于普通圆柱面的拓扑性质。

这个奇怪的曲面是“单侧”的，不被微积分大厦内曲面积分的房间卫士批准进门，然而它不仅形象直观，而且内涵丰富，其专业名称是“莫比乌斯带（Möbius strip）”，以发现者之一、德国数学家及天文学家莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790-1868）的姓氏命名。比他早了几个月的另一个发现者是德国数学家里斯汀（Johann Benedict Listing，1808-1882）。莫比乌斯带是莫比乌斯一生中最广为人知的数学发现，因为人们一看就懂。然而，他不那么广为人知的数学工作所引出的莫比乌斯反演公式，却是本文的主题。

莫比乌斯反演

莫比乌斯反演公式最原始的思想，与我们熟知的级数部分和数列与级数通项数列的简

莫比乌斯反演公式至今有许多推广和变种，但最有名也最简单的那个堪称“经典”，在数论和组合数学中有众多用途。为了理解这个原始公式，需要介绍几个初等术语。首先，所谓的“反演（inversion）”是中学代数里反函数概念的推广。当函数y=f(x)在

莫比乌斯函数
鉴于莫比乌斯函数μ在反演公式中所起的关键作用，我们来探讨它的基本性质。先熟悉一下莫比乌斯函数值数列中的最前面一打数字：μ(1)=1, μ(2)=-1, μ(3)=-1, μ(4)=0, μ(5)=-1, μ(6)=1, μ(7)=-1, μ(8)=0, μ(9)=0, μ(10)=1, μ(11)=-1, μ(12)=0。该函数的第一个基本性质为：它是积性（multiplicative）的，即只要两个自然数m和n互素（除1外没有其他正公因数），等式μ(mn)=μ(m)μ(n)就成立。事实上，当

这就证明了(I)。

从算术函数f到算术函数g的函数值g(n)，由于定义以及反演公式(I)只是通过有限和的形式表达的，我们仅仅用到莫比乌斯函数的因数和公式(1)就“初等地”证出了莫比乌斯反演公式(I)。用同样的方法可以证明，若f和g满足(I)，那么它们也满足(*)。人们将g称为f的莫比乌斯变换（Möbius transform），而把f称为g的莫比乌斯逆变换（inverse Möbius transform）。注意，还有一个中文翻译也是“莫比乌斯变换”的英文数学术语Möbius transformation，它指的是将复数映成复数的线性分式变换w=(az+b)/(cz+d)。

如果在莫比乌斯变换中将f和g分别换成In f和In g，则(*)和(I)隐含下列乘法形式的莫比乌斯反演公式

狄利克雷卷积
学过傅里叶变换的读者对函数之间的卷积（convolution）运算不会感到陌生。两个函数f和g的卷积f*g被定义为其中一个函数与经过反射与移位作用后的另一个函数乘积的积分，表示一个函数的形状如何被另一个函数改变。如果f和g的定义域都是整个

法，易证f*g=g*f，即卷积运算满足交换律。傅里叶分析中的卷积定理说，如果F和G分别是f和g的傅里叶变换，那么F和G的乘积的傅里叶逆变换是f和g的卷积。对于工程数学中常用的拉普拉斯变换，也有类似的卷积定理。

那么，卷积的思想和方法和“莫比乌斯反演”也有关系吗？当然有！这就是在数论中用于算术函数的狄利克雷卷积，此概念简直就是莫比乌斯反演的直接推广。它的定义与莫比乌斯反演公式(I)右端的表达式极为相似，除了那里的莫比乌斯函数μ被一般函数取而代之：令f和g为算术函数，则f与g的狄利克雷卷积是算术函数

此外，狄利克雷卷积也像整数乘法一样，满足结合律和分配律：(f*g)*h=f*(g*h)及f*(g+h)=f*g+f*h。就狄利克雷环而言，当且仅当算术函数f满足f(1)≠0，它有狄利克雷逆，即存在算术函数f-1使得f*f-1=ε。特别地，常数函数1的狄利克雷逆就是莫比乌斯函数μ，即有下一段论证中所需要的关系1*μ=ε。这里我们已用1代表在自然数集

由此可见，在狄利克雷卷积的语境内，经典莫比乌斯变换的表述就是：

g=f*1当且仅当f=g*μ。

一般理工科大学生大概是从傅里叶级数或偏微分方程边值问题中得知德国数学家狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）的大名，但不要误以为他只专“分析数学”，就像今日几乎所有数学家那样只精通一门手艺。他同时是数论大家，开创了解析数论分支。函数的现代定义也源自于他，让今日全球的中学生从这最合理的定义中获益。

既然莫比乌斯反演只是“单位算术函数1的狄利克雷逆是莫比乌斯函数μ”这个事实的“代名词”，原始的莫比乌斯变换双公式(*)和(I)马上可以推广成如下的一般反演公式：假定算术函数α有狄利克雷逆，那么

上面第二个等号是因为按mn=k进行分组，重排求和次序。

对应于离散情形下的一般公式(#)，(**)和(Ⅱ)的推广形式是：

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

特别提示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。

版权说明：欢迎个人转发，任何形式的媒体或机构未经授权，不得转载和摘编。转载授权请在「返朴」微信公众号内联系后台。