科技史上的今天 | 中国“数学双星”研究函数理论获重要成果

47年前的今天，1977年的2月28日，中国科学院院士杨乐和我国数学家张广厚，研究函数理论获得重要成果，他们在世界上第一次找到了函数值分布论研究中两个主要概念--“亏值”与“奇异方向”之间的有机联系；同时，他们对这两个概念的研究，也获得了具有世界先进水平的重要成果。他们的研究，推动了函数理论的发展，受到了国内外数学界的高度评价。

◆“数学双星”推动世界函数理论发展

1925年，芬兰数学家奈望利纳在研究函数值分布论时，创造了一种理论，认为：在大量常见和重要的函数中，绝大部分函数取每个值的次数是相近的，只有一小部分例外，这些例外的值就叫做“亏值”。对于“亏值”的研究，成了函数值分布论研究中的一个主要课题。另外，当研究大量常见和重要的函数的变化情况时，在自变量变化范围的有些部分上，函数取值特别多，变化异常剧烈，数学上把这种现象描述为“奇异方向”。对这种“奇异方向”的研究，构成了函数值分布论中另一个重要课题。

杨乐和张广厚，这一对数学天幕上的伴星，在继承发扬我国老一辈数学家的优良传统上，融汇了传统的法国函数论学派的经典成果，又吸收借鉴了英美等国函数论研究的优点，开拓性地提出和解决了一些全新的国际难题，从而形成了自己的风格和研究特色。

杨乐和张广厚独辟蹊径，潜心研究，终于发现“亏值”和“奇异方向”这两个难题之间并不是对立、排异的，而是相互依赖、有机联系的互为基础的统一概念。几十年的心血和智慧，终于使数学界两个长期分割的研究领域架起一座彩桥。他们的研究在国内外引起广泛影响。

1978年4月13日，在瑞士苏黎世举行的国际分析会上，面对着许多世界上享有盛名的数学家，杨乐有条不紊地做着中国科学家在函数值分布论方面所取得的丰硕成果的学术报告。他的报告受到热烈的欢迎，与会者称颂它为“惊人的成果”“精彩的报告”。近代函数值分布论的创始人奈望利纳本人更是热情地祝贺道：“刚才你说，你们是来向欧洲数学家学习的，我认为，现在欧洲数学家们应该向你们学习了。”不久，在美国出版的有关数学研究的文献，完整地引述了杨乐、张广厚的定理，说它们“既新颖又深刻”，与哥德巴赫猜想研究一样是纯粹数学方面“第一流的工作”。

◆老马识途

20世纪60年代初期，国家实施“调整、巩固、充实、提高”的八字方针后，重新开始研究生的招收与培养工作。杨乐和张广厚1962年毕业时，正好赶上各大学与研究机构60年代首次招收研究生。经过严格的考试，杨乐和张广厚成为中国科学院数学研究所的研究生，导师是熊庆来教授。

1962年9月，杨乐和张广厚到数学所开始研究生学习，当时中国科学院刚刚给熊庆来教授举行了庆祝70岁生日的仪式。熊庆来对杨乐和张广厚说：我已年逾古稀，难以对你们有具体帮助，但是老马识途。

事实上，函数值分布论有着十分悠久的历史，19与20世纪许多大数学家均曾致力其研究工作，优秀成果、重要论文、专著难以计数。熊庆来首先让杨乐和张广厚研读函数值分布现代理论奠基人奈望利纳的论著“毕卡--波莱耳定理及其推广”，该书虽然只有100多页篇幅，却提纲挈领，使他们很好地掌握了函数值分布现代理论的核心内容，迅速走向了研究的前沿。然后，熊庆来又要他们认真研读法国著名数学家伐利隆的论著“亚纯函数的波莱耳方向”，这是由伐利隆开创的函数值分布论中一个十分深入与艰难的研究领域。熊庆来为他们的研究指明了很好的方向与途径。

研究生阶段，杨乐和张广厚就在函数模分布论、辐角分布论与正规族理论方面，作出了引人注目的成果。例如，在正规族里，杨乐和张广厚1964年下半年所获得的一项研究成果，已经解答了国际上函数论权威学者海曼教授在同一时期提出的一个研究问题。由后来的信息得知，1964年9月在伦敦举行的国际函数论会议上，海曼收集和提出了一些重要的研究问题。当时我国处于十分封闭的状态，杨乐和张广厚并不知道在伦敦举行的会议，更不知道会议上的报告内容与提出的问题，然而他们那时的工作却能圆满地解决国际上关注的一个重要问题，发表的论文为当时及以后几十年里一些著名的函数论专家不断引用。

◆“张杨定理”诞生

1964年，张广厚和杨乐开始合作研究全纯与亚纯函数族。他们发展了消去原始值的方法，获得了很好的结果。

张广厚与杨乐合作，首次发现函数值分布论中的两个主要概念“亏值”和“奇异方向”之间的具体联系。长期以来，数学家们在函数值分布论的研究中总认为亏值与奇异方向是两个完全不同的概念，彼此不存在什么联系。杨乐与张广厚的合作研究则第一次揭示了在这两个基本概念之间存在着明确的、紧密的联系，并对这种联系给出了定量的表述。

该定理表明：对于绝大多数亚纯函数（有穷正级），其亏值数目决不能超过其奇异方向数目。对于整函数，结论还可以加强，即其亏值数决不能超过其奇异方向数的一半，他们并举例说明上述结果是最佳的。杨乐、张广厚的结果是突破性的，为函数值分布研究提供了新的方向。他们的成果被国际数学界定名为“张杨定理”。

紧接着，张广厚又开始研究“亏值”“渐近值”和“茹利雅方向”三个概念，这是函数理论中三个重要概念。张广厚经过研究，成功地找到了三者之间的有机联系，给这种联系作出了具体的数学论证，指示了整函数或亚纯函数所反映的客观规律。这是一个具有世界水平的重要成果。《中国科学》在1973年3月，特为论文出了一期增刊，新华社、《人民日报》也在头版显著位置再次以《张广厚又获世界水平的成果》为题作了报道。