正定矩阵

定义

分类

1. 广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中z**T 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。
2. 狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中z**T表示z的转置。

对称正定矩阵

设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。

Hermite正定矩阵

设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵2。

性质

正定矩阵有以下性质1：

1.正定矩阵的行列式恒为正；

2.实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

3.若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4.两个正定矩阵的和是正定矩阵；

5.正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

等价命题

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

1.A是正定矩阵；

2.A的一切顺序主子式均为正；

3.A的一切主子式均为正；

4.A的特征值均为正；

5.存在实可逆矩阵C，使A=C′C；

6.存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；

7.存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R3。

充要条件

1.n 元实二次型正定它的正惯性指数为 n；

2.一个实对称矩阵 A 正定A 与 E 合同，即可逆矩阵 C，使得；

3. 实二次型是正定的A的顺序主子式全大于零；

4.一个实对称矩阵 A 正定A 的特征值全大于零；

5. 一个实对称矩阵 A 正定A 的顺序主子式全大于零；

6.A ，B 是实对称矩阵，则正定A，B均正定；

7.A 实对称矩阵， A 正定正定矩阵 B，使得，（k 为任意正整数）。

判定的方法

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2.计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。2

应用

对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。3