等价矩阵

证明

a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,....an,b线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。若x,y都不为零，两边除以x可得-b=（x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。

当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。

性质

1. 矩阵A和A等价（反身性）；
2. 矩阵A和B等价，那么B和A也等价（等价性）；
3. 矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
4. 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
5. 具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。1

规范形式

其中对角线上的1的数目等于k。这是史密斯正则形式的一个特例，它将这个概念概括在向量空间上。