奇函数

定义

在奇函数中，和的符号相反且绝对值相等，即，

反之，满足的函数一定是奇函数。例如:

性质

1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5. 当且仅当（定义域关于原点对称）时，既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

奇函数的性质：如果f(x)是奇函数，且f(x)的最大值（或最小值）为M，那么f(x)的最小值（或最大值）为-M。4

特点

1.奇函数图象关于原点对称。

2.奇函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为奇函数。

3*.*若为奇函数，且在x=0处有意义，则.

4.设在定义域上可导，若在上为奇函数，则在上为偶函数。

即对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

发展

欧拉最早定义

若用-x代替x,函数保持不变，则称这样的函数为偶函数(拉丁文functionespares)。欧拉列举了三类偶函数和三类奇函数，并讨论了奇偶函数的性质。法国 数学家达朗贝 尔(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德罗(D.Diderot,1713-1784)主编的《大百科全书》第7卷（1757年出版）关于函数的词条中说：“古代几何学家，更确切地说 是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数．”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”，后来，其涵义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰· 伯努利最早采用了后一涵义。在1727年的论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言，欧拉提出的“ 奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数， 指数为奇数的幂函数为奇函数。

欧拉拓展概念

1748年，欧拉出版他的数学名著《无穷分析引论》，将函数确立为分析学的最基本的研究对象。在第一章，他给出了函数的定义、对函数进行了分类，并再次讨论了两类特殊的函数：偶函数和奇函数。欧拉给出的奇、偶函数定义与1727年论文中的定义实质上并无二致，但他讨论了更多类型的奇、偶函数，也给出了奇函数的更多的性质。

欧拉的困惑

欧拉认为，函数与函数是等价的，所以尽管奇函数与偶函数的乘积为奇函数，但有时这样的乘积也可能会是偶函数。鉴于此，欧拉提出，要使一个偶函数的幂仍为偶函数，就必须对幂指数进行限制，特别的，如果指数为分数， 那么它的分母就不能为偶数。在将偶函数定义为和的复合函数时，欧拉特别增加了一个限制条件：中不能含有之类的根式。显然，欧拉未能区别函数和函数。

后世发展演变

虽然达朗贝尔在《 大百科全书》 中给出了函数的定义，并介绍了有理函数、无理函数、齐次函数、相似函数，但只字未提“奇函数”和“偶函数”这两种特殊函数。

1786年 ，法国人裴奇（F.pezzi）将《 无穷分析引论》 第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译为“fonction paire”“fonction impaire”,这是两个数学名词在法文中的首次出现。

1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）(1752-1833)向科学院提交论文“关于椭圆超越性”中提出了“正弦函数的偶函数”。勒让德可能沿用了裴奇的译名或直接翻译了欧拉的名词。这里我们需要指出的是，将“偶函数”“奇函数”的拉丁文翻译成对应的法文，并不会产生不同的译法，因为最迟在笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）的《 几何学》 中已经有了法文的“偶 数”（nombres pairs）和“奇数”(nombres impairs)之名。

“奇函数”、“偶函数”这两个名称在18世纪末的法国并未得到普遍使用；或者说，函数的奇偶性还没有受到当时法国数学家的普遍关注。1796年，法国数学家拉贝将《无穷分析引论》全书译成法文，其中拉贝同样将“奇函数”、“偶函数”分别译为“fonction paire”“fonction impaire”

1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace,1768-1843）将勒让德的论文译成英文， 发表在《数学文库》(MathematicsRepository)上。华里司很自然地将 “function paire”译为“even function”。这是“even function”这个词在英语世界中的首次出现。不过，在英国著名数学家胡顿（C.Hutton，1737-1823）于1815年出版的《数学与哲学辞典》中，虽然有“函数”和“微积分中的函数”这两个词条，但奇、偶函数念却付之阙如。而德摩根的《代数学基础》（伟烈亚力和李善兰译为《代数学》）虽对函数进行了清晰地分类，但仍只字未提奇、偶函数。在美 国，数学家罗密士（E.Loomis,1811-1889）的微积分畅销书《解析几何与微积分基础》（李善兰与伟烈亚力译为《代微积拾级》）虽然给出了隐函数、显函数、增 函 数、减函数之名，但同样不含奇、偶函数之说。这说明，奇、偶函数概念以及华里司所引入的新名词在19世纪上半叶的英语世界里尚未得到广泛传播和普遍关注．相应地，两个概念也就不见于中国晚清的西方数学译著。直到20世纪初，两个概念才传入中国。1938年出版的《算学名词汇编》 和1945年出版的《数学名词》 中都收录了两个名词。

例子

奇函数：，当在处有定义时，必有。

常见的奇函数有等。

对于函数，当时，既是奇函数又是偶函数，当时，是奇函数；当时，是偶函数。