共轭复数

公式

根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 =a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源。两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反。

共轭复数的共轭性质：1）加和为实数。 2）在复平面上，共轭复数所对应的点关于实轴对称。3

共轭复数有些有趣的性质：

另外还有一些四则运算性质。

代数特征

（1）|z|=||；

（2）z+=2a（实数），z－=2bi；

（3）z· =|z|2=a2+b2（实数）。

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

减法法则

两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）

即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i.

除法法则

复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。

即：

开方法则

若zn=r(cosθ+isinθ），则 （k=0，1，2，3……n-1）

共轭法则

z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy

即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2

即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。

z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对。

运算特征

（1）

（2）

（3）

（4） (z2≠0)

总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。

模的运算性质

① | z1·z2| = |z1|·|z2|

②┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|

③| z1－z2| = | z1z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线

表示复数z的共轭复数，表示复数z的共轭复数的共轭复数，即=z。