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戴维南定理

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简介

戴维南定理(又译为戴维宁定理)又称等效电压源定律,是由法国科学家莱昂·夏尔·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年,亥姆霍兹也提出过本定理,所以又称亥姆霍兹-戴维南定理。其内容是:一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端,就其外部型态而言,在电性上可以用一个独立电压源V和一个松弛二端网络的串联电阻组合来等效。在单频交流系统中,此定理不仅只适用于电阻,也适用于广义的阻抗。戴维南定理在多电源多回路的复杂直流电路分析中有重要应用。

对于含独立源,线性电阻和线性受控源的单口网络(二端网络),都可以用一个电压源与电阻相串联的单口网络(二端网络)来等效,这个电压源的电压,就是此单口网络(二端网络)的开路电压,这个串联电阻就是从此单口网络(二端网络)两端看进去,当网络内部所有独立源均置零以后的等效电阻。

uoc 称为开路电压。Ro称为戴维南等效电阻。在电子电路中,当单口网络视为电源时,常称此电阻为输出电阻,常用Ro表示;当单口网络视为负载时,则称之为输入电阻,并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络,常称为戴维南等效电路。

当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时,其端口电压电流关系方程可表为:u=R0i+uoc2

戴维南定理和诺顿定理是最常用的电路简化方法。由于戴维南定理和诺顿定理都是将有源二端网络等效为电源支路,所以统称为等效电源定理或等效发电机定理。

当研究复杂电路中的某一条支路时,利用电工学中的支路电流法、节点电压法等方法很不方便,此时用戴维

南定理来求解某一支路中的电流和电压是很适合的。

证明

戴维南定理可以在单口外加电流源i,用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。

在单口网络端口上外加电流源i,根据叠加定理,端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压u=Roi,另一部分是外加电流源置零(i=0),即单口网络开路时,由单口网络内部全部独立电源共同作用产生的电压u=uoc。由此得到:

U=u’+u”=Roi + uoc

详解

戴维南定理指出,等效二端网络的电动势E等于二端网络开路时的电压,它的串联内阻抗等于网络内部各独立源和电容电压、电感电流都为零时,从这二端看向网络的阻抗Zi。设二端网络N中含有独立电源和线性时不变二端元件(电阻器、电感器、电容器),这些元件之间可以有耦合,即可以有受控源及互感耦合;网络N的两端ɑ、b接有负载阻抗Zs),但负载与网络N内部诸元件之间没有耦合,Us)=Is)/Zs)(图1)。当网络 N中所有独立电源都不工作(例如将独立电压源用短路代替,独立电流源用开路代替),所有电容电压和电感电流的初始值都为零的时候,可把这二端网络记作N0。这样,负载阻抗Zs)中的电流Is)一般就可以按下式1计算(图2)式中Es)是图1二端网络N的开路电压,亦即Zs)是无穷大时的电压Us);Zi(s)是二端网络N0呈现的阻抗;s是由单边拉普拉斯变换引进的复变量。

和戴维南定理类似,有诺顿定理或亥姆霍兹-诺顿定理。按照这一定理,任何含源线性时不变二端网络均可等效为二端电流源,它的电流J等于在网络二端短路线中流过的电流,并联内阻抗同样等于看向网络的阻抗。这样,图1中的电流Is)一般可按下式2计算(图3)

式中Js)是图1二端网络N的短路电流,亦即Z(s)等于零时的电流Is);Zi(s)及s的意义同前。

图2、图3虚线方框中的二端网络,常分别称作二端网络N的戴维南等效电路和诺顿等效电路。

在正弦交流稳态条件下,戴维南定理和诺顿定理可表述为:当二端网络N接复阻抗Z时,Z中的电流相量I一般可按以下式3计算式中EJ分别是N的开路电压相量和短路电流相量;Zi是No呈现的复阻抗;No是独立电源不工作时的二端网络N

这个定理可推广到含有线性时变元件的二端网络。

注意事项

(1)戴维南定理只对外电路等效,对内电路不等效。也就是说,不可应用该定理求出等效电源电动势和内阻之后,又返回来求原电路(即有源二端网络内部电路)的电流和功率。

(2)应用戴维南定理进行分析和计算时,如果待求支路后的有源二端网络仍为复杂电路,可再次运用戴维南定理,直至成为简单电路。

(3)戴维南定理只适用于线性的有源二端网络。如果有源二端网络中含有非线性元件时,则不能应用戴维南定理求解。

(4)戴维南定理和诺顿定理的适当选取将会大大化简电路。

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