全微分

全增量

为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。

设二元函数z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时函数取得的增量。

称为 f (x, y)在点(x,y)的全增量。

定义

如果函数z = f (x, y)在点(x,y)的全增量 可表示为

其中A 、B仅与x、y 有关，而不依赖于Δx 、Δy， ，则称函数z = f (x, y)在点(x,y)处可微分， AΔx+BΔy称为函数z = f (x, y)在点(x,y)处的全微分。记作dz，即。

函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数，全微分的定义可推广到三元及三元以上函数。

定理

定理1

如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0）处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2

若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

定理3

若函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数必存在，且函数z = f (x, y)在点(x,y)的全微分为：

判别可微方法

1.若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；

2.若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；

3.检查是否为的高阶无穷小，若是则可微，否则不可微。1

极限、连续、可导、可微的关系

这几个概念之间的关系可以用图1表示：