隐函数

定义

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。

如果在方程F(x,y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程唯一的y值存在，那么方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个一元隐函数。类似若有一个三元方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,)存在，则有可能确定一个二元隐函数。3

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。1

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

推理过程

一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程 中，作为这方程的一个解（函数）。例如

(1)

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=( x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

微分学中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。

这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分：

(2)

可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，唯一的条件是

(3)

隐函数理论的基本问题就是：在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程(1)确定一个惟一的函数y=ƒ(x)，不仅单值连续,而且连续可微，其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就用于断定(3)就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。

示例

设方程P(x, y)=0确定y是x的函数，并且可导。如今可以利用复合函数求导公式求出隐函数y对x的导数。

例1 方程 x2+y2-r2=0确定了一个以x为自变量，以y为因变量的数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y2看作x的复合函数，则有：

(x2)+ (y2)-(r2)=0

即 2x+2yy'=0

于是得y'=-x/y 。

从上例可以看到，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y'的一次方程， 解出y'即为隐函数的导数。

例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数。

解： 将方程两边同时对x求导，得：

2yy'=2p

解出y'即得

y'=p/y

例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数。

解：将方程两边同时对x求导，得

y’=ln y+xy' /y

解出y'即得 。