伯努利不等式

基本概念

对实数x>-1，1

在时，有成立；

在时，有成立。

可以看到等号成立当且仅当n = 0,1，或x = 0时。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

伯努利不等式的一般式为

（对于任意 都有且,即所有同号且大于等于-1） 当且仅当n=1时等号成立。

证明

设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx。2

证明：

先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：

当n=1，上个式子成立，

设对n-1，有：

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。

则

(1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2

>=1+nx

就是对一切的自然数，当

x>=-1，有

(1+x)^n>=1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx

若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx

这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：

如果r=0，1，则结论是显然的

如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;

下面分情况讨论：

1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。严格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。

2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx

证毕。

伯努利不等式虽然是一个很初等的不等式，但它的应用却非常广泛。伯努利不等式简洁方便，能降低次数，可以将高次幂变为低次幂，简化运算。此外，伯努利不等式常被用作证明其它不等式的关键步骤，它本身可以用数学归纳法来证明。伯努利不等式在证明数列极限、函数的连续和单调性以及在其他不等式的证明和级数的收敛性等方面都有着极其广泛的应用。3

相关不等式

下述不等式从另一边估计：对任意，都有

。

我们知道（ x>0），因此这个不等式是平凡的。