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极限比较审敛法

上传时间：2024-03-04

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描述

假设存在两个级数，且对于任意n都有。1

如果 $%7B%5Cdisplaystyle%20%5Clim%20_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%7B%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%7D%3Dc%7D$ （），那么两级数同时收敛或发散。

证明

对 $%7B%5Cdisplaystyle%20%5Clim%20_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%7B%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%7D%3Dc%7D$ ，我们知道对于任意都存在一正整数使得当时有 $%7B%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%7C%7B%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%7D-c%5Cright%7C%3C%5Cvarepsilon%20%7D$ ，等价于

$%7B%5Cdisplaystyle%20-%5Cvarepsilon%20%3C%7B%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%7D-c%3C%5Cvarepsilon%20%7D.$

$%7B%5Cdisplaystyle%20c-%5Cvarepsilon%20%3C%7B%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%7D%3Cc%2B%5Cvarepsilon%20%7D.$

由于c>0，我们可以让足够小使得为正。因此 $%7B%5Cdisplaystyle%20b_%7Bn%7D%3C%7B%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc-%5Cvarepsilon%20%7D%7Da_%7Bn%7D%7D$ ，根据比较审敛法，如果收敛，则同样收敛。

类似地，，如果收敛，根据比较审敛法，亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。2

举例

判断 $%7B%5Cdisplaystyle%20%5Csum%20_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%5E%7B2%7D%2B2n%7D%7D%7D$ 是否收敛。我们将其与收敛级数 $%7B%5Cdisplaystyle%20%5Csum%20_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%5E%7B2%7D%7D%7D%3D%7B%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%5E%7B2%7D%7D%7B6%7D%7D%7D$ 进行比较。

由于 $%7B%5Cdisplaystyle%20%5Clim%20_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%7B%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%5E%7B2%7D%2B2n%7D%7D%7B%5Cfrac%20%7Bn%5E%7B2%7D%7D%7B1%7D%7D%3D1%3E0%7D$ ，我们可以得出原级数收敛。

参见

审敛法
比较审敛法

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