欧拉角

概念解释

欧拉角是用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量，由章动角θ、进动角ψ和自转角φ组成，为L.欧拉首先提出，故得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。

如图1所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz以及固连于刚体的坐标系Ox'y'z'。以轴Oz和Oz'为基本轴，其垂直面Oxy和Ox'y'为基本平面，由轴Oz量到Oz'的角度θ称为章动角。平面zOz'的垂线ON称为节线，它又是基本平面Ox'y'和Oxy的交线。在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线ON的角度ψ称为进动角，由节线ON量到动轴Ox'的角度φ称为自转角。由轴Oz和Oz'正端看，角ψ和φ也都按逆时针方向计量。欧拉角（ψ,θ,φ）的名称来源于天文学。

三个欧拉角是不对称的，在几个特殊位置上具有不确定性（当θ=0时，φ和ψ就分不开）。对不同的问题，宜取不同的轴作基本轴，并按不同的方式量取欧拉角。

若令Ox'y'z'的原始位置重合于Oxyz，经过相继绕Oz、ON和Oz'的三次转动Z（ψ）、N（θ）、Z'（φ）后，刚体将转到图示的任意位置（见刚体定点转动）。变换关系可写为：

R（ψ,θ,φ）=Z（ψ）N（θ）Z‘（φ），

式中R、Z'、N、Z是转动算子，并可用矩阵表示如下：

刚体上任一点Q在两个坐标系中的坐标x、y、z和x'、y'、z'都可以通过矢径的模和方向余弦来表出。两组坐标之间有如下变换关系：

反变换只须在同名坐标间对调记号。

如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在与刚体固连的活动坐标系Ox'y'z'上的投影为ωx'、ωy'、ωz'，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：

由上式可以看出，如果已知ψ、θ、φ和时间的关系，则可用上式计算角速度ω在活动坐标轴上的三个分量；反之，如在任一瞬时已知t和ω的各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、φ和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。我们通常把上式叫做欧拉运动学方程。 1

静态定义

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参阅右图2。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义：

α 是 x-轴与交点线的夹角，β 是 z-轴与Z-轴的夹角，γ 是交点线与X-轴的夹角。

很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

动态定义

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述，XYZ 坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而 xyz 坐标轴是静止不动的实验室参考轴。

作用

欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角 θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成。为欧拉首先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。如图3所示，由定点O作出固定坐标系 Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴 Ox 量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。由轴 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。若令 Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和 Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点 O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ =sinθsinj+cosj，ωy′= sinθcosj－sinj，ωz′=cosθ+。如果已知 ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的 3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉运动学方程。

性质

欧拉角在SO(3)上，形成了一个坐标卡(chart) ；SO(3)是在三维空间里的旋转的特殊正交群。这坐标卡是平滑的，除了一个极坐标式的奇点在 β=0 。

类似的三个角的分解也可以应用到SU(2)；复数二维空间里旋转的特殊酉群；这里， β值在0与2π之间。这些角也称为欧拉角。

应用

应用研究

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。

在刚体的问题上，xyz坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算，通常用局部坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。

在量子力学里， 详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法（称为Gruppenpest）物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。

欧拉角的哈尔测度

欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式 ，通常在前面添上归一化因子π2 / 8。单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁(gimbal lock) 现象。因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。