射影定理

验证推导

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB= AC×BC= AB·CD

∴ AC·BC= AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

定理推广

中学阶段，射影定理有两个，分别是：

（1）直角三角形中的射影定理：∆在ABC中，C为直角，CD⊥AB，则AC2=AD⋅AB，CD2=AD⋅DB，BC2=BD⋅ AB；3

（2）任意三角形的射影定理（亦称第一余弦定理 ）：。3

欧几里得提出的面积射影定理projective theorem规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即COSθ=S射影/S原）。”

面积射影定理

(平面多边形及其射影的面积分别是 和 ,它们所在平面所成的二面角为 )

证明思路

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

例题

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

|| ||

注：这三个式子叫做射影定理，也可以在三角形中作三条高加以证明。2

提出者简介

欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。

他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

其他说明

射影长定理

射影长定理（theorem of length of segment projection ）是立体几何中的重要定理之一。它是根据直角三角形的性质得出的。

射影几何学

射影几何学作为一门古老而又精妙的几何学分支，起源于17世纪。在这个时期，两位杰出的数学家——埃蒂安·迪沙格（Étienne Desargues）和布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）共同为射影几何学的发展做出了开创性的贡献。射影几何学作为一门古老而又精妙的几何学分支，探讨了在将点投影到直线或平面上时图形的不变性质。它不仅在航空、摄影和测量等实际领域有广泛应用，而且具有深刻的理论内涵。

射影几何学和度量几何学是两个独立但相互关联的几何学分支。尽管它们在方法和研究对象上存在一些差异，但它们之间有着密切的联系和相互渗透。射影几何学强调的是图形的投影性质和平行性。它主要研究通过中心投影或投影变换产生的图形之间的相似性和对应关系。射影几何学中重点研究的是射影空间、射影几何体以及其中的投影关系。这种方法在处理复杂的三维几何问题时非常有效，因为它能够捕捉到不同视角下的图形变换和投影关系。