黎卡提方程

简介

黎卡提方程是最简单的一类非线性方程。形如y'=P(x)y2+Q(x)y+R(x)的方程称为黎卡提方程。

对其特例y'=-by2+cxα，刘维尔(Liouville,J.)于1841年证明了：当且仅当时，方程才能求得用初等函数及其积分所表示的通解。刘维尔的工作使得人们的注意力开始转向微分方程解的定性研究、数值计算以及求近似解上。

发展

十七世纪，意大利数学家黎卡提提出如下方程：dy/dx=P(x)y2+Q(x)y+R(x)，称为黎卡提方程。

1841年法国数学家刘维尔证明了黎卡提(Riccati)方程一般没有初等解法，但是很多实际问题与理论问题又迫切需要求得这个方程的解，这也使得这一方程成为世界著名难题。

黎卡提方程自从十七世纪黎卡提提出以来，历经三百多年一直未有一般解法，虽然有众多特例解法，但是都未能从根本上解决这个方程。

应用

无论在微分方程的经典理论或在近代科学的有关分支，黎卡提方程均有重要应用。1