美丽而“无用”的莫比乌斯反演，解决了一类物理问题【下】

“数论为我们提供了取之不尽的有趣真理——这些真理并非截然孤立，而是有着密切的内在联系，随着知识逐渐增长，我们就会不断发现它们之间新的、有时是完全意想不到的联系。”

——高斯

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

欧拉函数

既然经典的莫比乌斯反演公式是为数论而生，不给出它在数论中的一个具体应用似乎说不过去。我们就选数论中名气大的欧拉函数φ做例子。该函数是欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）于1763年引进的，它在自然数n处的值φ(n)被定义为不大于n并与n互素的自然数的个数。前十个欧拉函数值是φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4, φ(6)=2, φ(7)=6, φ(8)=4, φ(9)=6, φ(10)=4。

分圆多项式

我们再将莫比乌斯反演公式用于一类多项式。多项式方程zn-1=0的复数解称为1的n次根，它们是

无穷级数

至此所讨论的级数都是“有穷级数”，即有穷个数的和式。下面考虑几个无穷级数，对它们进行“级数通项分组重排”的莫比乌斯反演手术时，需要保证运算正确，一个使得手术成功的充分条件是相关级数“绝对收敛”，一旦无穷级数出笼，这个假设将不加交代地给出。理由很简单：仅仅条件收敛的级数可以重新排列通项数列使得新级数改变其和。我们先考虑以博学家（polymath）兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）姓氏命名的一类特殊级数。对于无穷数列{f(n)}，假定|x|<1，运用等比级数求和公式，有

意想不到的联系

行文至此，谈到的莫比乌斯反演公式及其应用都未跨出纯粹数学的地盘。难道它在其他学科找不到应用吗？数论曾被认为是纯得不能再纯的数学分支，极具美学价值，至少英国数论大家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）坚信只有微积分之类的“低档次数学”才可以被应用科学家拿来玩一玩，而数论被数学王子高斯视为“数学的皇后”，只能欣赏其美，却不能被指派任务。全球物理学界似乎也没有真正对莫比乌斯反演公式动过多少心思。直到1990年，顶级物理学期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters，简写PRL）在第六十四卷第十一期上发表了一篇中国人独自署名的论文，甚至惊动当时的《自然》主编，为此刊发了整版评论。

这位中国学者名叫陈难先（1937-），毕业于北京大学物理系，1984年在宾夕法尼亚大学获得电气工程与科学博士学位。他在这篇别开生面的文章发表七年后当选中国科学院院士。文章的题目是“修正莫比乌斯反演公式及其在物理学中的应用（Modified Möbius inverse formula and its applications in physics，Phys. Rev. Lett. 64，1193；1990）”。

那么，陈教授修正后的莫比乌斯反演公式是什么呢？它在形式上与经典公式最大的区别是：新公式是一对无穷级数表达式，后者是前者的反演表示（为与本文符号一致，我将原文中的A改成G，将B改成F，将ω改成x）：

上述两位作者在书中证明了古典的莫比乌斯反演公式(I)及其实变量情形推广形式(Ⅱ)后，已经不太耐烦了，就定理270而言干脆给读者下达了证明任务：The reader should have no difficulty in constructing a proof with the help of Theorem 263; but some care is required about convergence.（读者在定理263的帮助下构建证明应该没有困难；但需要注意收敛性。）受此鼓舞，我摊开纸做他们布置的习题，发现与证明(Ⅱ)几乎一模一样。下面我就用与证明家庭作业（homework，简写HW）题(HW)同样的方法验证(CNX)：

希望这两个公式也能找到对物理科学的应用。

陈难先院士不仅在研究上有创造力，而且也热心为大众写作。我孤陋寡闻，迟至2020年读到他为《数学文化》写的一篇美文《末毕其人其事》，才第一次知道他的大名。标题中的“末毕”就是他采纳的Möbius译名，理由就在文中第一段：“笔者以为，深谙英、德文字发音的王竹溪（1911-1983）先生翻译得最好：末毕。”我赞叹：物理学家就是与众不同！同时也纳闷：为何他对末毕情有独钟？现在恍然大悟了：那时再向前三十年，德国数学家先贤就已找到一个半世纪后的中国物理学家知音！

由于陈难先教授的PRL论文吹响了将数论旗帜插在物理山巅的号角，世界顶尖期刊《自然》那年自然对他特别关注。主编马多克斯（Sir John Royden Maddox，1925-2009）爵士在1990年3月出版的第三百四十四卷News and Views（新闻与观点）专栏中写了一页评论，文前提要是：“谁说数论是纯粹学术性的而与实用无关？古老的莫比乌斯定理意外地被证明可用来解决物理反演问题，可能具有重要应用 (Who says that the theory of numbers is strictly academic? An old theorem due to Mobius has unexpectedly proved to be a way of solving physical problems of inversion that may have important applications)。”该评论称赞陈难先先生“通过巧妙的运用将莫比乌斯反演定理付诸实践”，并列举了这位创造型物理学家在其PRL论文中细表的三个实践例子。在评论的最后，主编觉得可以合理地猜测，“陈的证明表明，即使是莫比乌斯也保守着现代世界的奥秘，现在会有一小群人在数论文献中搜寻，希望找到其他有用的工具，而这个领域此前可能被误认为是不毛之地。( It is fair to guess that, with Chen's proof that even Mobius has something to tell the modern world, a small army will now be scouring the literature of the theory of numbers in the hope of finding other useful tools in what may have been unjustly regarded as a backwater.)”

他说得一点不错。纯粹数学的种子，无论是历久弥新的经典公式还是热气腾腾的新鲜理论，只要广泛撒向物理世界的广袤大地，都有可能结出丰硕的果实。物理学家们，多接触些数学吧！数学家们，去交物理学家朋友吧！

写于2024年1月3日星期三

美国哈蒂斯堡夏日山庄

致谢：感谢南非科学院院士、Stellenbosch大学Extraordinary Professor孙博华博士鼓励作者撰写本文并提供陈难先教授的PRL文章和相关参考文献。也感谢我大学同学胡著信博士的有益交流。也感谢《返朴》周编辑认真核实数学并改进几段英文的翻译。

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

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