从志同道合到分道扬镳：数学与哲学之间的恩怨情仇

作者：黄逸文 （中国科学院数学与系统科学研究院）

文章来源于科学大院公众号（ID：kexuedayuan）

A：“我是数学家。”

B：“我是哲学家。”

C：“那你们两个可以说是相爱相杀啊！”

数学和哲学，几乎同时诞生于遥远的古希腊，共同构成了那个时代文明的骄傲，

它们在历史上有着千丝万缕的联系，也一直寄托着彼时人们对生活和精神的向往。

曾经，它们唇齿相依

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古希腊时代：数学与哲学的第一次相遇

公元前三世纪，柏拉图在他的学园入口处写道：“不懂几何者，禁止入内。”

柏拉图学园

作为古希腊的哲学先贤，柏拉图认为数学就是理性哲学的前提条件。数学和哲学，就这样第一次携手走进了柏拉图的理性乐园，也奠定了西方两千年理性文明的基础。柏拉图的影响波及后世无数杰出的数学家和哲学家，比如笛卡尔、斯宾诺莎、康德等等都是柏拉图信念坚定的支持者。

柏拉图之所以赋予数学如此重要的地位，将它视作理性主义的基石，其根源在于数学有着超越其他学科的先天优势。

当时的人们认为，在数学的世界里，任何一句断言都可以得到肯定或者否定的论证，且这种论证不会随着时间的推进而更改。每一个数学定理就是一座历史的丰碑，一旦树立，就千载不倒，成为后世数学家的标杆。数学定理中展现的严谨结论更是穿越时空的通行证，以至于伽利略曾经盛赞“宇宙是用数学的语言书写而成“。这种绝对的真理观为数学确立了坚不可摧的理性基础，每一个数学证明从诞生起就经得起任何人的检验。

这和古代的神话与宗教截然不同。神灵的存在与否无法证明，它本身是一种超越理性的信仰。人们只能屈从于宣传信仰的权威。数学恰恰相反，基于它的叙述只依赖于理性论证，完全独立于客观世界和精神家园，其原则可以接受任何的质疑和辩驳。那么，哲学将前提建立在数学之上，也就有了形式上的保障。从此，数学和哲学就紧密地联系在了一起。

数学成了哲学的前提，但是它们又有本质的不同。哲学的基础是数学，却又高于数学。

柏拉图（公元前427年 - 公元前347年）

柏拉图将知识分为四个等级，人们在获取知识的过程中需要经历四个阶段。

第一个阶段是基于感觉和想象表达的结合，其对象是可感事物的影像，比如影子、水中的倒影等等。

第二个阶段是信念。信念的对象是可感事物的影像原物，如找出影子的事物本身。

第三个阶段是思想。思想所处理的对象处于感性世界和理念世界之间，思想处理的知识处于感性认识和理性认识之间，比如数学。

第四个阶段就是理性。理性认知的对象是理念，理念就进入了纯哲学的层次。只要还追求对事物的更完满的解释，我们就永不会满足。但是拥有完善的知识将要求我们把握所有事物相互之间的关系——也就是看到实在之整体的统一性。有了完善的理智就能彻底地摆脱了感性事物的束缚。在这个层次上，我们直接和理念打交道。

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近代数学与哲学：共同成长的热恋期

在哲学家的思想深处里，他们的理念往往是通过数学的圆满来实现的，比如在哲学思辨中大名鼎鼎的反证法，就是一个源自数学创造的关键工具。

笛卡尔（1596年 - 1650年）

曾经提出“我思故我在”的法国大数学家笛卡尔，是现代哲学的奠基者。他同时也在现代数学史上有着自己独一无二的坐标，以发明“解析几何“而名垂青史。他基于悖谬推理的数学论证来逐步展开他的哲学蓝图。这种推理形式就是数学的本质。

斯宾诺莎（1632年 - 1677年）

17世纪的哲学家斯宾诺莎，认为哲学知识如果没有数学的辅助，人们将无法抵达理性的境界。他的名著《伦理学》采用了类似欧几里得的《几何原本》的结构，赋予其哲学严谨的公理体系和推理证明。从斯宾诺莎开始，哲学开始具有某种几何学的特征，其论证方式因为自然和严谨深受理性主义哲学家的喜爱。以《利维坦》奠定现代政治学基础的哲学家霍布斯也采用了相同的推理结构。他们的思想都受到牛顿通过数学建立自然哲学的启发，这再一次将数学和哲学紧密地联系在一起。

一个世纪后，德国大哲学家康德在《纯粹理性批判》里更是强调了数学的重要作用。一如当年牛顿对数学的高度评价“没有数学，就不会有任何自然科学”一样，康德指出批判哲学的存在完全依赖于数学的理性推导。

后世很多杰出的数学家，也同样是伟大的哲学家，比如19世纪的大数学家戴德金、康托，以及庞加莱，他们都是从对数学的思考中绽放出哲学理性主义的光辉。

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蜜月期的结束：巨大的分歧

尽管数学对哲学产生巨大的推动，人们在数学的概念上却产生了分歧，这一分歧导致了后世对数学于哲学的重要意义有了不同的解读。

第一种观点继承了柏拉图的实在论，人们认为数学是独立于我们而存在的对象。这也是自古希腊时代就被人们认可的理念。

维特根斯坦（1889年 - 1951年）

另外一种观点则将数学归于形式论的范畴，这一派认为数学仅仅是一种纯粹的人为创造，尤其是形式语言的创造。典型的代表人物如维特根斯坦，他将数学视为众多语言游戏中的一种，并不具备真正的普遍性，人们不能把数学绝对化。这场思辨源于19世纪非欧几何的诞生。统治几何学两千多年的欧几里得公理一度被颠覆，给彼时的人们带来巨大的思想震撼。一时间，“公理都会改变“的事实动摇了人们对数学的信仰。这引起了一些人对数学普遍性更为深入的思考。基于此，维特根斯坦认定哲学并不依从于数学，数学中也并没有揭示人类存在的真理。

在维特根斯坦之前，持同样观点的哲学家黑格尔甚至更加激烈，走向了一个极端。黑格尔以极其冷漠的态度批判了数学中尚待澄清的概念，比如对严格无限概念的理解，一度走到了科学的对立面。随后，西方哲学的主流开始抛弃了柏拉图的实在哲学，不再将数学推理纳入其思考的体系。从黑格尔到尼采，直至萨特的存在主义，哲学上的浪漫主义远离了分析证明的理性。

康德（1724年－1804年）

与此同时，很多哲学大家仍然支持数学对哲学不可替代的作用。康德尽管相信数学是某种先验的形式论，但他认为数学的普遍性毋庸置疑。他和笛卡尔、斯宾诺莎一样，坚持认为数学的出现为科学铺平了道路。

后来，它们分道扬镳

时至今日，数学和哲学渐行渐远，构成了人们对生活认知的两级。

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高冷的数学

大众对数学的态度是爱恨交织。人们发现它无所不在，却又对它一无所知。

它是每个人成长过程中投入时间和精力最多的学科。数学成绩的好坏不仅影响着一个人的信心和选择，还关乎着前途和命运。数学成了个人鲤鱼跳龙门的工具。但大多数人会在完成大学的课程之后，最终和数学分道扬镳。

同时，很多真正以数学为职业的精英数学家，却刻意保持了和大众的距离。他们拥有极富创造力的数学知识，以自己独有的方式进行着极其艰涩的研究，却并不屑于向世人诠释其精妙的意义。数学家的世界，俨然和公众完全隔离，人们无法了解他们的工作方式，更遑论他们的研究成果。双方的对立导致了公众对数学工作者的误解以及数学工作者的集体排外。

随着研究的深入，当代数学已经建立起超过一百个分支的专业领域。不仅外人对数学家的研究成果无法理解，彼此不同领域的专家也逐渐有了深度的隔阂。极度的复杂性让数学成了一个遥不可及的领域。数学研究，也成了少部分精英的乐园，从而和大众渐行渐远。

进入21世纪，每年的年度科技进展成了科学界的一件盛事。物理、化学、生物、信息等等学科都是其中最耀眼的明星。历史最为悠久、理论源远流长的数学，却常常沦为冷板凳上的看客，孤独地目睹科技盛宴上众星捧月的热闹。

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尴尬的哲学

对于哲学，问题却变得复杂起来。

那些艰深的哲学研究在今天也处于极为尴尬的位置。属于西方哲学史的黄金时代也已经落幕，原本哲学关注的核心问题渐渐融入到其他学科的范畴。比如研究“宇宙的本源”的重担转移到了物理学的前沿，研究“我们从哪里来”的问题被生物和遗传学家接手。甚至那些偏向文科的哲学内容，也逐渐被逻辑学、政治学和心理学瓜分。哲学的生命，注入到了新兴学科的血管里。

与此同时，哲学在人们的生活中更多地融入了功利主义的考量。这样的哲学逐渐和伦理学并轨，进入了人们的生活。没有人会自称是数学家，但是每个人却可以被视为哲学家。随着民主化和个性化的社会风潮，每个人都拥有了一套个体的生存哲学，并且对彼此不同的观点要么针锋相对，要么保留沉默。这一套观念和昔日哲学先驱们的思想大相径庭，而后者在当代已经被束之高阁，成为极少数人的思想阵地。

数学家和哲学家 究竟哪个更怪一点？

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孤独的数学家

数学家在媒体上出现的形象，往往以天才和怪异著称。

俄罗斯的天才数学家佩雷尔曼就是最近的典型。他解决了世界七大数学难题之一的庞加莱猜想，却拒绝了随之而来的菲尔兹奖和100万美元的奖金。他性格孤傲，选择了退隐山林，过上了与世隔绝的生活。

另外一位法国大数学家，被誉为代数几何教皇的格罗腾迪克，也选择了在年富力强的时候归隐田园。

约翰·纳什（1928年 - 2015年）

2001年上映的电影《美丽心灵》讲述了数学家纳什的故事，他罹患精神分裂，却做出了举世无双的贡献，他和妻子阿丽莎的一生跌宕起伏，几度分离别合，在晚年领奖回家的途中遭遇车祸，一起魂归天国。

陈景润（1933年 - 1996年）

1978年因为徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》而驰名大江南北的数学家陈景润，也给人留下了不食人间烟火的传奇。

历史上这样的故事不断在数学家这个群体重复。大抵数学的创造是孤独的，每一个伟大的灵感都需要数学家离群索居的独立思考，并且长期处于孤僻的状态。

对数学家而言，一个问题常常久思不得其解是家常便饭。没有人能许诺数学家：经历过风雨，就能见彩虹。寻找数学问题的答案好像探索未知的迷宫，只有他们自己在孤独地寻找那条通往中心的道路，却全然不知等待他们的，是馅饼还是陷阱。经历了绝望、希望，再绝望、再希望，每个人的神经都会处于紧张和松弛的反复交替中。探索的过程如果受到外界的干扰，则更容易迷途难返。

因此，数学家的路是注定是一条孤独的小径，数学家也在寻找真理的路途中形成了自己独特的性格。这种性格，在大众看来，就是无法理喻的古怪。

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忧郁的哲学家

反观哲学家，他们则大多具有诗人的忧郁气质。

从古希腊的源头看，哲学的本质就是追求超脱和爱智求真。哲学家的问题往往具有全世界的普适性。他们追问人生的根本问题，通过自己对人生困境的观察来反思这个世界。哲学家在寻求解决途径的同时，付出过痛苦而又百折不挠的努力。他们带着泪水和欢笑去感受和思考人生，最终提炼出充满人生智慧的哲学思想。这样的哲学也闪耀着人性的光辉。这和诗人的气质不谋而合。

梁漱溟（1893年－1988年）

好的诗人，能写出独具眼光和深度的文字；好的哲学家，能留下遍洒激情和灵性的思想。在这个意义上来看，哲学家与诗人往往心灵相通，他们在寻求一个谜底的同时，承受着相同的煎熬。

那些流传了千百年的诗词，无数次走进过人们的内心。被人们世代传颂后，每个人或多或少都有诗人的冲动，这也构成了人们理解哲学的基础。哲学家用理性勾画的蓝图，其实深藏在每个人的基因里。人们即便无法诉说，却能感同身受。这也构成了人们能够独立表达个体哲学的基础。

只不过，那些被用于解构人性本源、世界本质的哲学词汇和推理，太过深奥，它们和艰深的数学定理一样，成了人们无法逾越的思想鸿沟。庆幸的是，哲学的诗人气质被人们继承了下来，从而形成了个体哲学的百花齐放。

数学家&哲学家 我们都需要

人们害怕数学，因为它过于复杂，也不能指出明确的生存意义，更不能带来明显的幸福感。这就给哲学留出了空间。而柏拉图曾经认为任何献身于积极生活、参与到真理过程中的人，一定比那些寻欢作乐的人更加幸福。数学就提供了这样一种可能。

数学的单纯性和纯粹性，杜绝了语言中的欺骗和模棱两可，不受客观世界和人为的干扰，成为了清晰无误的自由表达。任何人都可以在其中体验到追求真理的幸福。昔日的人们痛恨数学带来的痛苦，却忽视了数学最重要的不是知识，而是思想。数学的理性推理和思考方式为人们提供了科学解决问题的思路。

哲学则应担负起精神启迪和鼓舞的重责。在商业至上的社会里，个人的幸福往往和物质的多寡紧密相连。失去了哲学引导的人生，就好像在黑夜里独自寻找人生的归宿。物质的丰盈只能成为个人当下安全的保障，却不能带人看清前进的道路。哲学就好像远方照射的一束光，指引着我们人生行动的方向。

数学和哲学，应该再度携起手来，为世人共同带来更多理性的光芒，更多灵魂的护航。让我们再回头看看柏拉图的学园入口，“不懂几何者，禁止入内”。其实，柏拉图想告诉人们的，不懂数学的人不能进入的，不是他的学园，而是哲学的殿堂。

参考文献：

[1]严春友 著《西方哲学新论》上卷 （中国社会科学出版社 2001）

[2]洪汉鼎 陈治国·主编《知识论读本》 （中国人民大学出版社 2010）

[3]泰勒·主编 《从开端到柏拉图》 韩东晖 聂敏里 冯俊 程鑫·译 （中国人民大学出版社 2003）

[4]撒母耳·伊诺克·斯通普夫 詹姆斯·菲泽著 《西方哲学史》 匡宏 邓晓芒等译 邓晓芒翻译策划 何兆武作序 （世界图书出版公司 修订第八版 2009）