千年之谜（一）黎曼猜想：来自珠穆朗玛的曙光

作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）

文章来源于科学大院公众号（ID：kexuedayuan）

如果让一名优秀的数学家用灵魂去换取某一个数学问题的答案，那这个问题，大多数职业数学家都会同意，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。这个由德国数学家黎曼（Riemann）于1859提出的难题，已经困扰世人一个半世纪。这也是德国数学家希尔伯特（Hilbert）在1900年提出的23个问题中唯一悬而未决的重大问题。如今，它再次被列入21世纪的千年难题表，继续引领着新时代的科学潮流。

德国数学家黎曼（1826-1866，图片来源：维基百科）

对未来安全体系的挑战

黎曼猜想的完全解决，无疑将极大地加深人们理解素数的本质，对数学和物理，以及现代生活的诸多方面产生重大深远的影响。事实上，现代人的生活行为都以一种潜移默化的方式依赖于数学。人们乘坐汽车、火车、飞机、轮船出行时，就进入了一个数学的世界。人们听歌、看电影、上网、娱乐时，使用的都是数学的产物。甚至人们查询天气、金融投资时，都已经深深地依赖数学。没有先进的数学，这一切现代化的技术和设施将荡然无存。

黎曼猜想其高深抽象的问题背后，隐藏着数学中最古老神秘的秘密—素数的分布模式。令人惊异的是，素数的行为表现对现代经济和金融体系，乃至国防安全都至关重要。人们每次银行使用自动提款机又或者在互联网上进行商业交易时，都完全依赖于素数的数学理论来确保交易的安全。战争时代时，人们通过加密的方式传递信息，其军事机密的安全性则完全取决于对素数的基本性质的了解程度。

在现代金融活动中，安全至关重要（图片来源：plixer.com）

由于黎曼猜想揭示了素数的分布模式，对这一猜想的证明将很可能对依赖于密码的现代安全体系造成致命的打击，使得互联网安全到银行金融，甚至国家安全都将面临极其严峻的挑战。因此，破译黎曼猜想不仅仅是理论上的丰功伟绩，而且有可能会颠覆未来世界的安全格局。

前赴后继的探索

如果我们回顾黎曼猜想的历史，不难发现，它正是起源于和数学一样古老的时代。

自古希腊人引入了素数的概念—一个只能整除1和它自身的自然数—以来，许多数学家开始了对这一特殊自然数孜孜不倦的研究。公元前350年，欧几里得（Euclid）在他的《原本》里证明了素数的许多基本性质。特别地，他发现关于素数的两个重要性质。一个是任何自然数都可以唯一地分解成若干素数的乘积；另一个则是素数的个数有无穷多。因此，素数就以自己的方式组合成了整数全体，类似物质由原子构成的性质一样。了解素数的性质，无疑就明确了构成自然数的材料，从而能知道整数的基本特征，而其中最重要的一点就是了解素数的分布模式。

古希腊数学家欧几里得（公元前330-公元前275，图片来源：维基百科）

遗憾的是，欧几里得受制于数学理论的局限，无法深入研究素数的分布规律。直到1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，素数终于以前所未有的形式向人们展示出了其规律性的一面。

瑞士数学家欧拉（1707-1783，图片来源：维基百科）

多年后，关于这一问题的重大突破则来自于黎曼的博士导师高斯（Gauss）。德国数学家高斯在年仅14岁时就独自发现了素数的分布规律，并提出了关于素数分布的猜想。该猜想断言，虽然素数的分布极其随机，但是整体上仍然可以被宏观地把握，它们会以逐渐稀少的方式遵循着一个系统的原则。然而，高斯终其一生也无法证实这个猜测。

德国数学家高斯（1777-1855，图片来源：维基百科）

幸运的是，该猜想最终被后世法国数学家哈达玛（Hadamard）和比利时数学家普桑（Poussin）证明，并被称为素数分布定理。定理指出了素数的大致分布模式，且和实际计算的吻合度很高。

法国数学家哈达玛和比利时数学家普桑（图片来源：slideplayer.com.br）

未来之光

1859年，年仅33岁的黎曼发表了题为“论小于已知数的素数的个数”的论文，作为他刚当选为德国柏林科学院通信院士的回报。在这篇文章里，黎曼阐述了素数的精确分布规律，从此拉开了延续至今的传奇大幕。

黎曼的本意是为了证明高斯的猜想，虽然他失败了，但在文章中引进的思想和方法却为后人完全证明素数分布定理奠定了基础。作为黎曼一生中唯一一篇研究数论的文章，黎曼在文中轻描淡写地断言了素数最精细的分布模式，却意外地打开了后世数学家如痴如醉的潘多拉魔盒。几十年后，人们终于发现，素数的性质不仅仅是存在于理论中的工具，而是可以改变现代文明的利器。

对黎曼猜想的证明将产生关于素数的重大认识，从而极大地影响互联网、金融安全、国防等等一切涉及到密码交易的行为模式。更重要的是，数学中的几乎所有学科，都已经在现实世界里找到了广阔而深刻的应用前景。唯有数论作为一门已经持续发展了2000多年的学科，许多重大的原创成果还从未与现实世界发生交集。黎曼猜想则有可能打通这一古老学科通往现实世界的隐匿大道，从而向世人显现前所未有的文明之光。