李克正：数学教育的发展方向必须掌握在数学界

10月31日，中国数学会等单位为了纪念中国现代数学事业开拓者和奠基人姜立夫先生（1890年—1978年）诞辰130周年，举办了“姜立夫先生诞辰130周年系列活动暨中国数学基础教育高峰论坛”。在论坛上，多位关心中国数学教育的有识之士发表了自己的观点，其中2001年颁布的“数学新课标”再度成为讨论的议题（过往讨论可参见《15年前，姜伯驹院士为何怒批数学“新”课标？》）。《返朴》获授权在此刊发首都师范大学特聘教授李克正先生在论坛上的发言（标题为编者所加），希望与读者诸君共同思考。亦欢迎各界来稿讨论。

演讲 | 李克正（首都师范大学特聘教授）

感谢姜伯驹先生（编注：姜伯驹先生为中国科学院院士、北京大学数学教授，他在此次会议上的发言请关注今日《返朴》微信同时推送的另一篇）给了我这个机会，能在这个会上领略到很多专家的高见，并也做一个发言。

下面讲到的“数学教育”，明确的就是中学数学教育，因为我同时参与小学、中学、大学本科、硕士、博士各级数学教育，深知关键问题出在中学阶段。

对于中学数学教育我所参与的有：与一些中学合作，听课、交流讨论；讲课，有普及性的报告，也有专题课程；通过北京青少年科技俱乐部，指导中学生做数学研究，每年指导1-2名；为中学生写课外读物。

顺便说一句，我在少年时代就读到很多数学家写的中学生课外读物，水平都很高，如姜伯驹先生写的《一笔画和邮递路线问题》。我现在判断中学生的数学素质常凭他们所读的课外读物，高下立见。

花工夫特别大的是我们有一个“数学教育技术讨论班”，办了很多年，从中走出2名博士和20余名硕士。讨论班的成员将中学近年来的数学统编教材，包括各种版本的（人教版、苏教版、北师大版、华师大版等等）， 各年度的，从头至尾讨论了至少两遍， 对这些教材非常熟悉。讨论班成员写的文章都很严谨。

刚才王长平（编注：福建师范大学校长、教授）讲到了课程标准，他的一些看法，对于业内的有识之士基本上是共识，我就不重复了。这里要讲的一点历史，可能不是在座的诸位都很熟悉的。

大约在20年前， 教育部开始制定“新课程标准”。当时主持数学方面的是几个中学教师，他们对于数学很少了解，但对于原有的课程做了很大的改动，砍掉了很多内容，又增加了很多内容， 很明显会给中学数学教育造成极大的混乱。数学界的一些关注教育的人士，姜伯驹先生、张英伯先生等， 对此提出异议， 经过艰苦的努力，有了一些发言的机会，得以部分地阻止了“新课标”中的严重问题。与数学相比，其他学科如物理、化学、生物等方面的“新课标”问题要严重得多，就是因为没有专家参与抵制。

对于“新课标”中的改动，我觉得刚才王长平所说的“难”、“易” （所谓“避难就易”） 并非实质，真正的实质是内容的取舍，即“what”层面的问题， 而不是“how”层面的问题。如上所说， “新课标”在内容上的改动很大，甚至与在座诸位当年的中学课程内容都不可同日而语。

举例说，在初一代数中就没有了多项式的带余除法，那么后面的辗转相除法、最大公因式和最小公倍式、进一步的因式分解、不可约多项式、唯一因子分解定理、高中的余式定理等等就更不可能有了。而有理式的分解就更不会了，所以很多大学生不会做简单的积分题如

在线性代数的学习中困难就更大了，例如λ-矩阵的对角化需要反复做多项式的辗转相除，不懂带余除法的人没法学初等因子、相似矩阵、若尔当标准形等，甚至有些教科书将这些内容都砍掉了。诸位可以考一下你们的研究生，看看他们是否懂得余式定理。

再举个例子，中学的立体几何，核心就是三垂线定理，但现在没有了。而大学解析几何首先要建立空间坐标系，这是必须用到三垂线定理的。即使很好的教科书，在这一点上也只能糊弄，因为不可能将立体几何从头至尾讲一遍。而中学现在的立体几何是这样讲的：空间中有两条直线都和第三条直线平行，则“由观察可见”它们也互相平行，这样就得到一个定理 (叙述定理但无证明)，然后就是做题了。每个部分都是如此。这样的课程还不如不学，因为“不怕不懂，就怕不懂还自以为懂”。

这种情况，大学教师多少可以看到一点，所以一些大学对新生补中学数学， 甚至补很多；一些高校教科书也在开头专辟一章讲中学数学。但问题早已严重到“补不胜补”的地步。中学生在数学上缺的“应知应会”太多，到了大学数学挂科就在所难免了。

近年来，数学对于国家发展战略的重要意义，已经逐渐成为社会共识。那么，鉴于我国目前发展的需要，应该让中学生学什么数学内容呢？这个问题需要很深的学问才能回答，而且即使是专家们也会有很多不同意见。但是我们可以退一步，专考虑“为了将来上大学需要学什么数学”， 这个问题不难回答，而且也不会有很多争议。

要紧的是，数学教育的发展方向必须掌握在数学界，尤其要依靠那些不计名利投入中学教育的数学大师们。否则无法避免现很多不良倾向的危害，如教育政治化 （讲“公平”， 反“歧视”等）， 以及造假欺骗。

这里说的是面向广大普通学生的数学教育。我们不能只关心超常教育或精英人才的培养， 因为没有培养天才的土壤，天才也不能成长起来。

我在数学天元基金三十周年会议上的报告也讲了上述意见。

上面所说的困难现状，既有挑战也有机遇。目前很多高校的“强基”计划，有可能通过招生影响中学数学教育朝健康的方向发展，请诸位考虑。我们目前正在做的中小学数学测评，首先就要在“what”层面上把好关。希望大家能够合作。

最后我提一个建议：趁此会议建立一个微信群，邀请关注教育的数学家们加入，作为一个可以经常讨论数学教育的平台。

谢谢大家。