黑洞信息悖论之谜，霍金最后的问题被解决了吗？

在所有黑洞相关的问题中，最令理论物理学家头痛的或许是黑洞信息悖论。这是霍金证明黑洞存在热辐射后诞生的一个麻烦的问题，也是霍金生前最后一篇论文研究的问题：黑洞蒸发后，所有与之相关的信息都丢失了，因而违反了信息守恒律。数十年来，为了解决这一问题物理学家提出了许多猜想和模型，如今终见曙光——黑洞信息没丢！那么黑洞信息悖论要被终结了吗？究竟有何神秘武器有如此威力？这篇科普文章将带你领略黑洞信息悖论突破之旅。

撰文 | 董唯元

最近关于黑洞的话题实在太热门了。今年除了诺贝尔物理学奖颁给了黑洞方面的成果，还有一个专为青年研究者而设立的“新视野奖”（New Horizons Prizes），其中一位研究黑洞热力学的女科学家Netta Engelhardt荣获殊荣。这位来自麻省理工学院的教授，是近几年黑洞信息悖论方面取得进展的主要贡献者之一。

Netta Engelhardt丨图源：MIT

粗略地说，她的成果是以一种“隔空取物”的方法，神奇地计算出黑洞演化过程中的熵变，从而得出宇宙总体信息守恒的结论。这一结论虽然在某种程度上解答了霍金提出的黑洞信息悖论，但却并未给这个问题画上最终句号。相反，由此所产生的更多有趣问题，正在激发起更多研究热情。

在介绍这些最新进展之前，让我们先简要回顾一些与这个悖论有关的理论发展过程。

无毛的黑洞却有熵最早与黑洞产生矛盾的并不是信息守恒律，而是热力学第二定律。

惠勒这位好事儿的物理学家曾异想天开地想请黑洞喝下一杯热咖啡，然后宣称宇宙中的熵总量减少了，热力学第二定律被打破了。因为依照惠勒的“黑洞无毛”理论，黑洞只有质量、电荷和角动量这三个指标，没有任何微观状态差异，似乎不该有熵的容身之地。于是一杯含着许多熵的热咖啡被黑洞喝下之后，这些熵就从宇宙中永远地消失了。

当然，这个略带谐谑的诘问并没有引起物理学家们认真对待，至少许多人会觉得那些落入黑洞的熵并没有彻底消失，只是换做一种我们尚未知悉的神秘形式而已。换句话说，包括惠勒自己在内的几乎所有物理学家，对热力学第二定律的信心都远胜过“黑洞无毛定律”，大家只是需要时间去发现那个既无毛又有熵的理论模型。

接下来就是众所周知的故事了。经过霍金和贝肯斯坦等人的一番努力之后，人们认识到原来黑洞是个五脏俱全的热力学系统，有温度，会向外辐射能量，而且黑洞视界表面积正是黑洞的熵。于是，一个既无毛又有熵的黑洞就这样搞定了。热咖啡落入黑洞之后，视界表面积会增加，也就是黑洞的熵会增加，从而热力学第二定律得以保全。

一切看似完美，可很快大家就发现，真正的麻烦才刚刚开始。

绝望的拉普拉斯妖霍金计算出的黑洞辐射与普通火堆散发的辐射有一个显著的不同，那就是黑洞辐射无法携带信息。如果我们将一本书丢入火堆，物理学四大神兽之一——拉普拉斯妖，这个观察能力和计算能力都无比强大的妖怪，可以仅凭火焰的细微变化，就推算出那本书上的文字。但是如果我们把一本书丢入黑洞，拉普拉斯妖却无法通过黑洞辐射施展同样的推算。更麻烦的是，黑洞向外辐射的同时自身会逐渐萎缩并在有限时间内蒸发殆尽，这样书中所记录的信息会在宇宙中彻底消失。这是笃信因果律的物理学家所不能容忍的情况。

拉普拉斯妖所守护的，是宇宙在演化过程中的信息守恒。更直白地说，就是确定性的因果关系，这是几乎所有物理学的基础。即使面对到处是概率的量子力学时，其波函数演化仍然是完全确定的，可以精确地用微分方程描述。概率只在对某个物理量具体测量时才出现，而测量动作使被测量的对象与外界产生了信息和能量交换，所以被测量的对象此时不是个封闭系统。如果把被测量的对象和所有环境作为一个整体考察，其演化仍然是确定性的。

用稍微专业点的术语来说，一个封闭系统的演化过程就是其相空间里的一条线，这些线必须严格遵循刘维尔定理，既不能交汇也不能分叉，否则就意味着因果律的崩溃。纵使抱持多世界诠释观点的物理学家，也得承认在每一个宇宙中信息都必须守恒。宇宙的分叉并不会造成相空间里演化流的分叉。

可是霍金的计算却表明，黑洞的蒸发消失会造成“多因对应一果”的局面出现。无论当初丢入黑洞的是一部《道德经》，还是一部《圣经》，亦或是一只活蹦乱跳的小白鼠，最终当黑洞蒸发殆尽之后，宇宙整体都回复到完全相同的样貌。相空间里的多条演化线在此处汇聚为一条线，历史变得不可追溯了。

火墙和黑洞互补原理自20世纪70年代起，解决霍金提出的黑洞信息悖论就成了挑战理论物理学家的大型智力竞赛。为了挽救绝望的拉普拉斯妖，各种脑洞大开的解决方案都被提了出来。

有人猜测黑洞蒸发过程会在某个时间点停止，也有人猜测即使黑洞完全蒸发之后仍会留下含有信息的残渣。最为有趣的是黑洞火墙理论，这个理论认为黑洞周围有一层高能火墙，任何落入黑洞的物质都会先被这堵火墙烧成不含信息的碎渣。这样火墙就像一面反弹信息的镜子，在允许物质落入黑洞的同时，却将其中的信息反弹回来。

黑洞火墙理论认为黑洞周围有一层高能火墙，允许物质落入黑洞的同时，却将其中的信息反弹回来。丨图源：Backreaction – blogger

所有第一眼看到火墙理论的人，都会立即感觉这明显违背了相对性原理。物理学明明告诉我们，对自由落向黑洞的观者来说，视界处的时空依然是连续且平坦的，如果观者的尺寸小到足以抵御潮汐力，就完全可以一路吃着火锅唱着歌平安穿过视界。通往黑洞的道路又不是过南天门上天宫，怎么会无厘头地凭空出现火墙呢？

能够使火墙理论逻辑自洽的，是一个脑洞更大的“黑洞互补性原理”。设想小A是不幸落入黑洞的观者，小B是站在远处的观者。在小A的旅途中其实并没有遭遇火墙，而小B虽然看到了火墙，可是在有限时间内二人根本无法再次坐下来对质，所以在同一个宇宙中这两个貌似相互矛盾的剧本，居然就这样相安无事地分别安抚了二者对相对性原理的担忧。

左侧宇航员小A落入黑洞，他自己除了被潮汐力拉伸之外，不会感受到其他效应。右侧是远处的观者小B看到的情形，他看到宇航员遭遇火墙并被烧毁。丨图源：Science News

这些理论探索并非实锤验证的物理事实，提及这些只是供读者赏鉴理论物理学家们的神奇脑洞。不过物理学研究毕竟不是纯粹的创意比拼，在黑洞信息悖论这场智力竞赛中，最终反倒是一些相对不那么烧脑的理论逐渐占据了上风。

难以计算的佩奇曲线霍金的学生唐·佩奇猜测，黑洞蒸发过程应该一直被信息守恒律所制约。霍金的计算结果只反映黑洞辐射早期阶段的熵变情况，而在后期阶段，信息会以某种方式从黑洞中跑出来，并在最终黑洞蒸发殆尽的时候，从总体上保证宇宙信息守恒。从第一阶段向第二阶段转变的时间点就被称为“佩奇时间”，这条先升后降的曲线就是“佩奇曲线”。

黄色直线是霍金计算辐射熵，白色直线是最大信息含量。丨图源：Quanta Magazine

这根看起来清晰易懂的佩奇曲线似乎已经给出了问题的答案，但其实这里只是定性地描述在佩奇时间之后信息开始从黑洞中泄露出来，却不能对具体过程提供定量刻画。实际上，物理学家无奈地发现，这条曲线上除了首尾两点之外，中间的部分还不知道该如何下手计算。

于是，这场智力竞赛又转变成了计算模型的比拼，各种武器纷纷被搬了出来。最近几年里，经过全息对偶、纠缠熵、量子引力的路径积分等等一众新型武器的不断狂轰滥炸，终于取得了明显进展。最终由本文开头所提到的Netta Engelhardt教授以及其他几位物理学家一起，宣告佩奇曲线终于可以计算了。

图源：Black Hole - Home丨Facebook

以上就是关于黑洞信息悖论最通俗版的简略介绍，不过假若就此收笔的话，恐怕会收到返朴读者的许多西红柿和鸡蛋。毕竟前面所谈的这些内容已然在各类科普介绍中流传很久，如果不能展开些稍微深入的内容，怎么能满足返朴读者的高雅品味呢！

信息=纠缠相信许多人在试图理解黑洞信息悖论的时候，第一个感到困惑的问题就是“信息”这个概念究竟指什么？与黑洞熵又到底存在怎样的联系？那我们就先从这个问题开始，谈一些略具体的物理内容。

在相关文献中，出于精确性的考虑，大多会将悖论中“信息丢失”的含义解释为“系统演化失去幺正性”。这种阐述当然是正确的，但未必便于直观理解。其实有种略显粗糙的直观解读，就是干脆将“信息”等价于“纠缠关系”，那么“信息丢失”的含义就可以简单地理解为“纠缠关系的丢失”。

让我们设想一个简单的游戏，在桌上抛三枚硬币并记录结果，正面记为“1”反面记为“0”。如果硬币之间相互独立，那么抛掷结果是一个3位二进制数字，可能的情况一共有8种，所以这个系统的熵是ln8。而如果用胶水把硬币粘连起来，正反面分别是1和0，可能的结果就只剩下2种，这时系统的熵是ln2。而这块粘成坨的“硬币饼”就可以当做暗号标记，用来记录和传递信息，其所承载的信息量就被定义为ln8-ln2。

图源：作者原创

把这个例子对应到物理语言，每个硬币就相当于一个自由度，胶水就是自由度之间的纠缠。例子中的ln8是仅从自由度出发得到的粗粒化熵，其实大多数情况下基本就等于热力学熵；ln2则是考虑纠缠关系约束的精细化熵，也称为冯诺依曼熵。可以看出，一个存在纠缠关系的系统内，其粗粒化熵与精细化熵之差，就可以视作信息的度量，如果把硬币看做比特，这其实就等价于香农的信息熵。

而黑洞造成信息丢失的原理，也可以借助这个类比来理解。我们知道黑洞辐射的形成机制，是将一对纠缠的粒子掰开并吞下其中一个，被放生的另一个粒子就成了霍金辐射。注意，纠缠关系不受时空距离限制，所以黑洞的吞噬动作本身并没有切断纠缠关系，信息也就没有丢失，只是被黑洞视界掩藏了起来。站在黑洞外面无论怎么拼命研究那剩下的一半，也不可能获知原本纠缠关系所包含的信息。最终真正造成信息丢失的，是黑洞的蒸发消失。随着黑洞寿终正寝，始终被掩藏着的纠缠关系所对应的信息也就从宇宙中消失了。

顺便提一句，前文说到的火墙理论，之所以能在黑洞视界处将信息反弹，其实就是物理学家设想了一种机制，在产生霍金辐射的同时使纠缠关系也断裂，从而保证信息不会掉入黑洞。

火墙理论认为纠缠关系在视界处断开，并放出大量能量，所以在黑洞视界处形成火墙。丨图源：Science News

火墙理论虽然有趣，却不是本文要介绍的重点，我们还是把话题回到最近刚刚取得进展的佩奇曲线计算问题上来。

量子化的黑洞物理学家们很早就知道，黑洞的热力学熵与黑洞视界的表面积成正比，而且比例系数刚好是普朗克面积的4倍。这启示他们猜测，黑洞的粗粒化熵应该与热力学熵差不多，也与面积成正比。而粗粒化熵又只对应着自由度的个数，所以每个4倍普朗克面积的“熵单元”，就对应着一个黑洞的自由度。这样，整个黑洞就可以被看做一个有限自由度的量子系统，其自由度数就等于“熵单元”的个数。

所有信息都被编码在黑洞视界表面丨图源：Semantic Scholar

这样不仅意味着黑洞能容纳的熵总量有限，同时也说明黑洞作为存储信息的容器，其信息容量也存在上限。还是类比那个抛掷硬币的例子，黑洞的表面积对应着硬币总数。而每产生一个霍金辐射粒子时，都相当于将一小点信息写入黑洞这个存储器中，结果就是使某两个硬币粘连起来以记录这个信息。可以想象，有限个硬币最终彻底粘成一整坨的时候，整个黑洞就是一个纯态系统，所记录的信息量也就达到了上限。别忘了，伴随着向外辐射，黑洞自身质量和视界表面积在不断缩小，也就是硬币总数在减少。所以必然在彻底蒸发消失之前，就先遇到这个信息饱和的状态。这个时刻，就是佩奇曲线上的佩奇时间。

读到此处，也许有读者会有种“原来不过如此”的感觉，看起来佩奇曲线似乎应该不难计算。无非就是桌上有一堆硬币，旁边有两个淘气鬼，一个淘气鬼不断从桌上拿走硬币，另一个把桌上的硬币用胶水粘来粘去。感觉难度不会超过小学数学应用题的水平。然而当把这个看似简单的过程套用在黑洞上时，两个困难的挑战就同时出现了。

首先是武器短缺。着手处理量子化黑洞，就必然需要弯曲时空背景下的量子场论，而且最好是非微扰形式的理论模型。因为黑洞视界处时空已经被极限扭曲，用微扰形式恐怕难以揭示有价值的物理内容。然而这方面的既有武器储备还非常有限，事实上人们本来就是指望着黑洞热力学的研究，能够帮助推动量子引力理论的发展。

其次是物理图像不够清晰。佩奇曲线只是概略地指出结论，黑洞作为一个巨型U盘，存储信息的容量有上限，当容量被占满之后信息就会从黑洞里溢出来。可是在佩奇时间之后一个纯态的黑洞具体该如何演化？已经存储在里面的信息又是具体如何溢出的？这些问题都没有答案，甚至连信息的具体承载形式也远没有定论可依。

物理学家的魔术毯一部分研究者直面挑战迎难而上，发展出许多构思精确的理论模型，并一步步向着目标艰难靠近；也有一部分研究者索性绕开中间问题，直奔最后的目标。Netta Engelhardt的研究方式主要属于后者，她借助一种“体”与“边界”之间的对偶关系，巧妙地规避了许多具体问题。

这种对偶关系是指，一个房间内部的所有物理现象和演化规律，可以毫无偏差或遗漏地编码到房间的墙壁上。这非常像我们把一个3维立体形象记录在2维平面上的全息摄影技术，所以物理学家干脆称之为“宇宙全息理论”。与全息照片不同的是，宇宙全息理论中“体”与“边界”在真实性方面完全等效，我们可以主观地任意选择一种观念当做我们生活的真实背景，但并没有客观的角度告诉我们究竟二者中哪个是真实哪个是幻象。也就是说，我们既可以认为自己真实地生活在4维时空中，也可以同时认为我们都是投影幻象，所谓真实都只存在于3维的宇宙边界内。秉持不同观念的人，完全可以沟通无障碍地讨论同一种物理现象，并作出相同的推算和预测，只是各自手中的数学计算公式有所差异罢了。

对偶关系非常像把3维立体形象记录在2维平面上的全息摄影技术丨图源：Vox

爱因斯坦曾认为时空是一切物理研究的基础，脱离了时空就无从谈论物理学。然而“宇宙全息理论”却暗示我们，时空的基础性地位似乎也没有那么牢固，我们完全可以摆脱某种特定时空的视角，而且不会影响对物理本质的探寻。

黑洞热力学的研究者们主要采用的是一种Ads/CFT对偶，其中Ads（反德西特空间）是“体”，CFT（共形场理论）是“边界”。通过对偶关系，将“体”中的黑洞连同黑洞之外的全部空间，都对偶到“边界”上进行研究。通过这样一番转换，Ads空间中难以处理的量子引力问题，就在CFT中变成了相对容易处理的纯场论问题，可以使用的数学武器立刻丰富了很多。这种操作就像在量子黑洞上蒙了一层魔术毯，许多棘手的问题都被魔术般变走了。

图源：APS.org

虽说Ads空间并不是我们事实所处的真实宇宙空间，具体计算中所采用的2+1维Ads空间中的黑洞也不会自发产生辐射，而是需要靠一些附加技术手段把辐射从黑洞里拽出来，不过这些细节问题并不妨碍我们从这个理论模型的计算结果中初步窥得黑洞演化的奥秘。至少我们现在可以比较笃定地说，在Ads空间中的黑洞从始至终都完全遵从信息守恒律。

未来的研究目前的理论进展使我们对黑洞演化的认识又前进了一步，但关于黑洞信息的问题还远未到画上句号的时刻，甚至可以说，物理学家们只是否定了霍金的计算结论，但至今仍然不知道他当初的计算过程到底错在哪里。

还有一个最容易想到的问题就是，信息究竟是怎样从黑洞中流出的？

依照相对论，信息的传播速度不会超过光速；

依照黑洞的定义，亚光速的任何物质或辐射都无法逃脱出视界。

佩奇曲线的计算中并没有违背上述两条前提，那么信息到底是如何成功越狱就变得非常蹊跷诡异。几乎所有定域性的途径都不可能，那么非定域性的机制呢？

物理学家最熟悉的非定域性机制就是量子纠缠，而且黑洞内外确实存在纠缠关系，但仅靠纠缠关系本身不能作为信息传递的管道，这早已为人所熟知。那么几乎就只剩下一种可能，那就是跨越黑洞视界的时空虫洞。事实上，在佩奇曲线的计算过程中，确实也间接涉及到了时空虫洞。当研究者仿照量子场的路径积分方式，处理“引力路径积分”时，需要对所有可能的时空几何进行积分，其中自然就包括了各种满足爱因斯坦方程的虫洞。

需要说明的是，“引力路径积分”中所包含的虫洞，与大名鼎鼎的ER=EPR中所指的虫洞还不是一回事。前者是时空虫洞，至少在逻辑上似乎具有传递信息的能力；而后者只是空间虫洞，以目前的认知应该跟纠缠关系一样不能传递信息。

不过现在就做出断言还为时太早，倘若某天我们揭开这个谜团，也许就能发现一种新的超光速传递信息的技术手段。

当然理论物理学家们探究黑洞信息悖论的动力，才不是发明什么新通讯手段，而是旨在获知更多关乎量子引力乃至时空本源的宇宙奥秘。从这个角度上说，黑洞信息悖论问题不仅是一个内涵丰富的研究目标，更是理论物理向前延伸发展的重要阶梯。

致谢：感谢中国科学院院士、中科院理论物理所学术所长蔡荣根研究员曾对本文做出的指导和审核。