理发师能不能给自己刮胡子

在一个小镇中，有一条关于刮胡子的法令——镇上的男士必须每天都刮胡子。但法令并没有要求必须自己刮胡子，那些不想自己刮胡子的人，可以去找理发师。但法令还规定：不给自己刮胡子的人，就由理发师为他刮胡子。

小镇上只有一名理发师，他也是位男士。现在请你想一想，这位理发师能给自己刮胡子吗？根据规定，作为理发师，他只能给“不给自己刮胡子的人”刮胡子。那么，如果他不给自己刮胡子，他就可以给自己刮胡子。而如果他给自己刮胡子，他又不能给自己刮胡子。理发师就此陷入两难之中，这就是著名的理发师悖论。

理发师悖论其实是罗素悖论的通俗版本。伯特兰·罗素是英国著名的哲学家、数学家、逻辑学家，他年轻时曾立志为数学寻找牢靠的地基，在此过程中，他发现了罗素悖论。

要理解罗素悖论，还得从集合说起。数学家们最初对集合的界定比较随意，一堆东西放在一起就可以称为一个集合。集合中的每个个体又叫集合的元素，一个集合中的元素都属于这个集合。一群松鼠可以组成一个集合，所有的自然数可以组成集合，所有唐朝诗人加上所有的自然数也可以组成一个集合。基于这种简单朴素的集合界定，罗素构造出了这样一个集合S：S由一切不是自身元素的元素所组成。

那么，问题来了：S是否属于S呢？

如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。所以，无论回答是或否都会产生矛盾。

罗素悖论看起来像个普通的智力游戏题，实则非常深刻。由于当时的大部分数学都是建立在这样朴素的集合概念基础上，而罗素所发现的正是这种朴素的集合定义的大漏洞，所以它动摇的是数学理论的基础。

对于罗素悖论的严重后果，德国数学家、逻辑学家和哲学家弗雷格有着既难过又清醒的认识，他在《算数基础规律》第二卷的跋（bá）中写道：“对一名追求严谨系统的作者而言，没有什么比在工作完成之后发现整个大厦的地基被动摇更不幸的了。而恰逢这一卷的印刷即将完成之时，伯特兰·罗素先生的一封信正把我置于这样的境地。”

不仅弗雷格，当时正在致力于给数学寻找一个坚固基础的罗素自己也深受这个悖论的折磨。弗雷格用跋中的另一段话揭示了当时的数学家和逻辑学家所处的窘境：“在证明中使用了概念的外延、类、集合的每一个人，都与我处于同样的地位。成为问题的不仅是我建立算术的特殊方式，而是算术是否完全有可能被给予一个逻辑基础。”

不过，罗素悖论也有积极意义。在罗素悖论提出之后，有关集合的理论升级换代，从素朴集合论升级到了更严谨、更基础的公理集合论。而罗素本人，除了给出类型论来应对自己发现的罗素悖论，还和英国数学家怀特海合作写出了被后世誉为“20世纪逻辑圣经”的《数学原理》。

（作者张立英系中国科学院哲学研究所教授）