武侠数学丨中国古代没有零？

零作为数字的历史很短很短，宋朝数学里没有零，元朝和明朝数学里也没有零。小说家施耐庵生活在元末明初，他写《水浒传》，写到梁山泊好汉人数，通常是“一百八人”或者“一百八员”。

例如该书第七十回，宋江先打东平府，再打东昌府，回到山寨，对众弟兄说： “共聚得一百八员头领，心中甚喜。”

再比如第七十一回，宋江率领大家在忠义堂对天盟誓，誓词是这么说的：“宋江鄙猥小吏，无学无能，荷天地之盖载，感日月之照临，聚弟兄于梁山，结英雄于水泊，共一百八人……”

还有第八十二回，太尉宿元景回奏：“宋江等军马，俱屯在新曹门外，听候圣旨。”宋徽宗说：“寡人久闻梁山泊宋江等有一百八人，上应天星……”

近现代说书人演绎《水浒传》，张口闭口“一百零八条好汉”，这其实是清朝以后才有的说法，清朝以前只能是“一百八条 好汉”，没那个“零”。20世纪初，考古人员在甘肃敦煌千佛洞发现唐朝数学文献《立成算经》，里面记录钱币数字108 文，也是写成“百八文” （图1-1），而不是“一百零八文”。图1-2 为日本早稻田大学图书馆所藏水浒画册： 《清陆谦画水浒百八人像赞临本》。

图1-1 唐朝数学文献《立成算经》

将108 文写作“百八文”

▲图1-2 《清陆谦画水浒画百八人像赞临本》

我们必须说明，中国古籍里并不是没有零，只不过，那些零的含义与数字无关。它们有时是“凋零”的零，有时是“零散” 的零，有时是“挂零”的零。它们可以有“滴落”的意思，可以有“细碎” 的意思，可以有“附加”的意思，却没有“一减一等于零，零加零还是零” 的意思。

其实，不只是古代中国没有数字零，古希腊、古罗马和古埃及也没有数字零。在任何一个古典文明时代，一切数学概念和数学技能都是因为实际需要，才被发明出来的，而零在很长时期内都没有被发明的必要。什么是零？不就是空无所有吗？每个数字都被用来计算那些实实在在的东西，空无所有的东西凭什么需要数字呢？空无所有的数字怎么能够进行计算呢？

数字被用来描述实有，虚空之物不需要数字，这是非常朴素的想法，自自然然，水到渠成。认识不到零很正常，认识到应该有零，那才叫稀奇古怪、异想天开。

没有零，一样记数和计算

现代人写数字和做运算，绝对离不开零。11+19=30，一个零出来了。111- 11=100，两个零出来了。古代中国、古希腊、古罗马、古埃及都没有零，先民们如何计算？如何进位？如何用数字表示几十、几百、几千、几万呢？

早期文明的数字符号告诉我们，即使没有零，一样可以表示很大的数字，只不过表示方法要复杂一些。

以古埃及为例（图1-3）：1 的符号是一竖，像一根棍子；2 的符号是两竖， 像两根棍子；以此类推，3 是三根棍子，4 是四根棍子，5 是五根棍子……到了10，符号变成一道拱形（据说这个符号是一只踝骨），好像字母n，又像集合运算符号里计算交集的∩。然后呢？ 11 是一道拱加一竖，12 是一道拱加两竖，13 是一道拱加三竖……到了20，用两道拱来表示；30 是三道拱，40 是四道拱，50是五道拱……100 呢？被写成一个曲里拐弯的符号，仿佛缺了左下角的8，又仿佛是头朝上的小蝌蚪。

比100 还要大的数字，古埃及人也能写出来，例如1000 像一支火炬（也有人说这是一朵莲花），1 万像一根手指，10 万是一只神鸟，100 万是一个单膝跪地、双手投降、仿佛被这个巨大数字吓怕了的人（图1-4）。

▲图1-3 古埃及数字：1 到100

▲图1-4 古埃及数字：1 到100 万

古埃及人如果要写1023047 这个数字，会画一个受惊吓的人，表示100 万； 再画两根手指，表示2 万；再画三支火炬，表示3000；再画四个拱形，表示40；最后画七根棍子，表示7。整个数字写出来，会是如图1-5 的样子。

▲图1-5 用古埃及数字表示1023407

古埃及数字是象形符号，古希腊和古罗马则用字母表示数字（图1-6）。在古希腊，1 写成Α，2 写成Β，3 写成Γ，4 写成Δ，5 是Ε，6 是，7 是Ζ， 8 是Η，9 是θ，10 是Ι，11 是ΙΑ，12 是ΙΒ，13 是ΙΓ，14 是ΙΔ…… 20 写成Κ，21 写成ΚΑ，22 写成ΚΒ，23 写成ΚΓ，100 写成Ρ。如果想写108，那就是ΡΗ，中间不需要一个表示零的符号。

▲图1-6 古希腊数字与阿拉伯数字对照表

相对而言，我们对古罗马数字更加熟悉，生活当中也能见到它们。在一些钟表上，从1 点钟到12 点钟，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ来表示。而那些稍大一些的数，会被写成不同的字母或者字母组合，例如50 是L，100 是C，500 是D。古罗马人想记录一个数字，先看这个数能不能对应一个现成的字母，如果不能，那么分解这个数，把它分解成几个字母（图1-7）。

▲图1-7 古罗马数字与阿拉伯数字对照表

比如说，要写100，用一个字母C 就行。要写200，就得写成CC。写230呢？ 因为230 等于100+100+30， 而30 又等于10+10+10，100 的对应字母是C，10 的对应字母是X，所以230 被记作CCXXX。再比如732，可以分解成500+100+100+10+10+10+2，其中500 用D 表示，100 用C 表示，10 用X，2 用Ⅱ，732 会被写成DCCXXX Ⅱ。像这样的数字系统，记录繁琐，识别易错，计算之时更加令人头疼（不能像阿拉伯数字那样将不同数字的相同数位对应起来，以便加减乘除），但自始至终都不需要有零参与。