黑体辐射是近代物理史上一只会下金蛋的鹅, 是近代物理的摇篮。黑体辐射研究的意义还在于这是唯一一个涉及c, k, h三个普适常数的物理情景。黑体辐射谱抗测量误差的特性带来了辐射标准和绝对温度参照，谱分布公式对模型的不敏感则使得黑体辐射成为独特的物理研究母题。黑体辐射谱分布公式，普朗克多角度推导过，德拜推导过，艾伦菲斯特推导过，劳厄推导过，洛伦兹和庞加莱深入讨论过，泡利推导过，玻色推导过，爱因斯坦在20多年的时间里多角度推导过且产出最为丰硕，近代还有从相对论角度的推导，每一个角度的推导都带来了物理学的新内容，这包括量子力学、固体量子论、受激辐射、量子统计、相对论统计，等等。认真回顾黑体辐射研究的历史细节，考察其中的思想概念演化。不啻于体验一次教科书式的学（做）物理之旅，比如也可以尝试给出能量局域分立化的简单新证明。
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）
黑，真他妈的黑啊！
——刘慈欣《三体》
14 玻色的推导
印度人玻色（Satyendra Nath Bose, 1894-1974）是一个典型的polymath型的学者（图25）。玻色1913年大学毕业，1915年硕士毕业，据说总考第一，他的朋友萨哈（Maghnad Saha，1893-1956）总考第二。玻色和萨哈是亲密朋友，构成了一个研究联合体。{萨哈关于原子离化的公式与相空间、统计有关，这和玻色的学问极为接近。爱因斯坦在伯尔尼时和朋友Conrad Habicht、Maurice Solovine组成了三人学习小组，自称奥林匹亚学园，Akademie Olympia}[13]据说当年一个德国植物学家P. J. Bruhl来到了印度，随身携带大量的德语科学书籍。这位老兄原本计划到印度悠闲地多读几本书，结果发现印度太热，于是急忙逃离连书都不要了。萨哈和玻色两人因此得以熟读玻尔兹曼、普朗克、维恩等人的著作。{这个德国植物学家是老天专门派去成就玻色和萨哈的。1975年知识青年陆续聚拢，我从我家旁边的知青窝点捡到了半本被丢弃的《大同煤矿工人血泪史》，那是我读过的第一本小学课本之外的书。要是那些知青能丢下个半本量子力学、相对论啥的，说不定我也能13岁上大学。}此外，一个叫Debendra Mohan Bose的印度人1919年从德国回到印度，给玻色又带回了普朗克的书，这也就容易理解玻色为什么会研究黑体辐射问题了。玻色精通热力学和电磁学理论，从1916年起开始研究相对论，故非常熟悉爱因斯坦的工作。1918年，萨哈和玻色两人联手在英国的Philosphical Magazine杂志上发表了关于气体动力学的文章[Megh Nad Shaha, Satyendra Nath Basu[14], On the influence of the finite volume of molecules on the equation of state, Philosophical Magazine 36, 199-202(1918)]，算是初试牛刀。1919年的爱因斯坦因广义相对论而家喻户晓, 玻色与萨哈两人努力把爱因斯坦的相对论德语表述翻译成英文。1921年，玻色开始教授热力学和麦克斯韦的电磁理论。据说是萨哈让玻色注意泡利和艾伦菲斯特等人新近推导普朗克分布的努力。1923年，玻色向Philosophical Magazine杂志投了一篇稿件, 宣称统计力学方法即足以研究辐射-物质间的热平衡，与能量交换过程的具体机制无关。6个月后，玻色被拒稿。
1924年6月4日，玻色给爱因斯坦寄去一封德语信，信中写道：
尊敬的先生，我斗胆随信发给您一篇文章向您请教。我急切地想知道您的看法。我试图不依赖经典电动力学而只通过假设相空间的体积单元为h3就能得到普朗克定律里的系数8πν2/c3。我的德语水平不足以把这篇文章翻译成德语。如果您认为这篇文章还值得发表，请您安排它在Zeitscrift für Physik上发表，对此我不胜感激。尽管我们素不相识，但我在做出上述请求时没有任何犹豫，因为虽然我们只能通过您的文章受教于您，我们也都是您的学生。
您真诚的
玻色
我必须说，这是一封真诚的、礼貌周到的信函。
爱因斯坦于7月2日回复了一张明信片，不长，照录如下：
Lieber Herr Kollege, ich habe ihre Arbeit übersetzt und der Zeitschrift für Physik zum Druck übergehen. Sie bedeutet einen wichtigen Fortschritt und hat mir sehr gut gefallen. Ihre Einwände gegen meine Arbeit finde ich zwar nicht richtig. Denn das Wiensche Verschiebungsgesetz setzt die undulationstheorie nicht voraus und das Bohrsche Korrespondenzprinzip ist überhaupt nicht verwendet. Doch dies thut nichts. Sie haben als erster den Facktor quantentheoretische abgeleitet wenn auch wegen des Polarisations-Faktor 2 nicht ganz streng. Es ist ein schöner Fortschritt.
Mit freundlichen Grüss Ihr
Albert Einstein
爱因斯坦的回复可简单翻译如下：
亲爱的同事先生，我已将您的工作翻译了，并交给Zeitscrift für Physik杂志刊印。您的工作意味着一个重要的进展，我很喜欢。您对我本人的工作的挑剔我以为并不正确，因为维恩的位移公式不以波动理论为前提，也根本没用到玻尔的对应原理。当然了，这没关系。您首先用量子理论导出了（普朗克公式的）因子，尽管关于极化因子2的部分不那么严谨。这确实是一个漂亮的进展。
致以友好的问候，您的
阿尔伯特·爱因斯坦
我必须说，对爱因斯坦的这个回复，我不知道说啥好。
爱因斯坦接受了玻色的请求，把他的文章给翻译成了德文。不知道玻色的对爱因斯坦公式的挑剔是不是在英语原文中有更多体现。爱因斯坦在提交德语译文给杂志时还附上了一个便条，上写道：“我认为，玻色对普朗克公式的推导是一个重要的进展。这里用到的方法也能得到理想气体的量子理论。关于这一点，我会在别处展开 (Boses Ableitung der Planckschen Formel bedeutet nach meiner Meinung einen wichtigen Fortschritt. Die hier benutzte Methode liefert auch die Quantentheorie des idealen Gases, wie ich an anderer Stelle ausführen will)。”
图25. 玻色
派斯在爱因斯坦传记中认为，玻色1924年的文章是老量子力学的第四篇也是最后一篇革命性文章，前三篇分别是Planck (1900)，Einstein (1905) 和Bohr (1913) 那三篇。我比较认同这个说法。
玻色的推导简单明了，但它有三个新颖、激进的特征。1）黑体辐射由0-质量，动量为hν/c（那时候关系p=hν/c才刚写出一年半）、能量为hν的类粒子光量子组成，它们被当作粒子进行排列组合；2）没有涉及经典理论。所谓独立的、稳衡的振动模式数被粒子相空间的小室（数目）给替代了；3）玻色的在小室中分配频率区间内量子数目的统计规律，意味着粒子间存在一种新的统计相关。这种特征被称为粒子不可分辨性（全同性），只和计数方式有关。将相空间整数化，相较于普朗克的能量整数化，看似是个进步。其实，相空间量子化是几何的玩法，量子就是首先被黎曼1859年作为几何对象引入的。物理几何化也是物理的后来发展方向。这些算是关于光的行为和统计的革命性看法。玻色的文章称辐射是无质量粒子。{光子，photon, 这个名字 1926年才出现。}因为吸收和发射, 热辐射作为粒子集合那就有粒子数不守恒问题。在这些认知下，用一种新的统计方式描述，得到了普朗克统计。
玻色认为上述推导包含不必要的假设，物质在辐射场中的热平衡依然可以用统计的方法得到而不必涉及具体的能量交换机制。{这正体现统计的威力啊!}况且，体系状态的概率就是两者各自概率的乘积，所谓的平衡态就是整体体系的概率最大。若平衡时辐射场是普朗克分布，物质是麦克斯韦分布，那相应的统计关系是什么样的呢？
爱因斯坦对玻色的第二篇文章的评论是，“您的原理同如下两个条件不相容: 1） 吸收系数独立于辐射密度；2）辐射场中振子的行为应该作为极限情况从统计规律得到。” 玻色不能接受这种观点。1925年两人在柏林相遇，爱因斯坦建议玻色考虑两件事：1）新统计是否意味着光量子之间有新的相互作用？2）在新量子理论中光量子统计和跃迁概率是怎样的？结果都没下文。
据Partha Ghose回忆，玻色有自己的构造量子论的方法，基于自发辐射和受激辐射之间的关联，拟作为其第三篇文章的主题。爱因斯坦是将自发辐射和受激辐射当作独立的过程处理的。玻色说他打算从新观点看待辐射场，把能量量子的传播同任何电磁影响分开来，而且如果量子论要想同广义相对论合拍的话，这种分离就是必要的。但是玻色关于黑体辐射的第三篇文章一直没有踪影。1924-1925年在法国和德国待了一段时间后，玻色从柏林回到印度，后来就没有研究成果了。
玻色在这两篇论文里的玩法，是爱因斯坦早已经玩得溜溜的了。因此，爱因斯坦看到玻色的论文愿意为他翻译，并且说他也要接着做些工作。爱因斯坦说到做到，1924年一篇，1925年两篇，且在第二篇论文中引入了凝聚（玻色-爱因斯坦凝聚）的概念。
关于玻色的工作，如下几篇文献可供参考：
Kameshwar Wali, The man behind Bose statistics, Physics Today 59(10), 46-52(2006).
Robert Bruce Lindsay and D. ter Haar, Men of physics: Lord Rayleigh-The Man and his work, Pergamon (1970).
Mehra Jagdish, Golden age of theoretical physics, World Scientific (2001).
Barry R. Masters, Satyendra Nath Bose and Bose-Einstein statistics, Optics and photonics news, 41-47, April 2013.
15 爱因斯坦再次出场
爱因斯坦此前的工作表面表明，黑体辐射是辐射场的涨落，黑体辐射分布函数1/(e^hν/kT-1)中的“-1”在辐射-双能级分子模型中明确来自受激辐射机制。爱因斯坦一直对热力学、统计力学感兴趣，我甚至觉得爱因斯坦并未区分什么物理的领域，他只是研究物理的而已。前面说过，阅读爱因斯坦论文时每一个字都不可以漏过。我不敢说其中的每一个字都包含物理，但我感觉其中的每一个字都对我理解物理有帮助。
玻色的黑体辐射推导勾起了爱因斯坦的兴趣，估计他在给玻色翻译论文的过程中就完成了自己的推导。爱因斯坦果断中断了当时占据他脑海的统一场论研究，转过来谈统计问题，而这本是他的拿手好戏。结果是，爱因斯坦迅速两篇论文出手，其中第一篇分两部分发表：
Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (单原子理想气体的量子理论), Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 261-267(1924).
Albert Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, zweite Abhandlung (单原子理想气体的量子理论之二), Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 3-14(1925).
Albert Einstein, Zur Quantentheorie des idealen Gases (理想气体的量子理论), Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 1825 (1925).
爱因斯坦这两篇文章之后的统计力学有了量子统计的面貌。
这两篇论文，因为题目相似，其1925年的“理想气体的量子理论”一文连wikipedia的Bose-Einstein statistics和Bose-Einstein condensate条目都是忽略的。爱因斯坦的第一篇（分为两部分的）文章，表述中连字母使用都有点儿忙乱，不是很好懂。笔者愚鲁，一时不能拿捏准确。
爱因斯坦1926年和1927年的两篇与光子有关的文章也值得关注，分别是：
Albert Einstein, Vorschlag zu einem die Natur des elementaren Strahlungs-emissions-prozesses betreffenden Experiment (关于与基本辐射发射过程之本质有关的实验的建议), Naturwissenschaften 14, 300-301(1926).
Theoretisches und Experimentelles zur Frage der Lichtentstehung (光产生问题的理论与实验考量), Zeitschrift für angewandte Chemie, 40, 546 (1927).
行文至此，笔者以为就黑体辐射而言，爱因斯坦的研究是最深刻的，也是收获最大的。爱因斯坦的黑体辐射研究收获总结如下：
解释了光电效应、斯塔克效应等；
建立了固体量子论；
发展了涨落理论，认识到光的波粒二象性；
得出delta函数和用Dirac-comb表示的态密度分布；
得出e与h的内在关系；
提出受激辐射概念；
导出玻色-爱因斯坦统计；
提出玻色-爱因斯坦凝聚。
有趣的是，基于受激辐射概念人类实现了激光，多年后激光冷却技术让玻色-爱因斯坦凝聚成为可能，而它们都是推导黑体辐射公式之努力的结果。黑体辐射是第一个相对论统计研究，在狭义相对论出现之前，后来又引出了量子力学。黑体辐射之意义，由此观之，怎么强调都不为过。
16
玻色-爱因斯坦统计与费米-狄拉克统计
C. G. Darwin, R. H. Fowler, On the partition of energy, Philosophical Magazine Series 6, 44, 450-479(1922).
C. G. Darwin, R. H. Fowler, On the partition of energy.Part II. Statistical principles and thermodynamics Philosophical Magazine Series 6, 44, 823-842(1922).
R. H. Fowler, Statistical Mechanics, Cambridge Universal Press (1952).
与玻色-爱因斯坦统计对应的还有费米-狄拉克统计。费米-狄拉克统计是1926年由意大利物理学家费米和英国物理学家狄拉克独立提出的。费米（Enrico Fermi，1901-1954）1926年3月提交的一篇论文，题目和爱因斯坦1924年的论文几乎一摸一样[Enrico Fermi, Zur Quantelung des idealen Einatomigen Gases (理想单原子气体的量子化), Zeitschrift für Physik 36, 902-912(1926)]。{费米的这篇论文是一篇标准的外国人写的德语论文。请注意，德语很诡异，德国人自己一般都写不好，非德国人更是很难写得像样。希腊人Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Constantin Carathéodory, 1873-1950)的热力学第二定律的公理化表达那篇文章是外国人写的真德语，格外稀罕。}费米指出，低温下分子运动量子化，其行为同经典理论有偏差, {前面的退化。费米用了Entartung，Entartungserscheinung, Entartungstheorie等词, 对应德语动词abweichen, 偏差。}解释这些偏差的理论会采用这样或那样的假设，而作者发现只需要假设系统里不可以存在量子数相同的两个等值单元（nie zwei gleichwertige Elemente vorkommen können, deren Quantenzahlen vollständig übereinstimmen）即可。{是不是从数学得来的考虑呢？}
狄拉克在量子力学语境里讨论理想气体[P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy.Soc. London A112, 661-677(1926)]。在1926年8月提交的这篇文章里，他就用到了Einstein-Bose Statistics一词。狄拉克统计从狄拉克一方一开始是从多电子体系波函数开始的。{黑体辐射带来了普朗克分布和光辐射能量量子化。研究原子的辐射问题，谱线位置和强度，有了量子力学。玻色关于黑体辐射的工作经过爱因斯坦到理想气体的推广有了玻色-爱因斯坦统计。而狄拉克得到费米-狄拉克统计来自对多电子体系的考虑，即多粒子体系波函数的对称性问题。为了让系统的运动积分是矩阵，满足矩阵的乘法，那多粒子体系的波函数要么是对称的，要么是determinantal form（保证反对称性）。量子力学，从一个开始就是统计的干活。不要把统计和量子力学分开。量子统计出现在量子力学之前，至少是在薛定谔1926年的波动力学之前。愚以为，量子统计是个不恰当的概念，统计从来基于可数性、分立性，用的是整数。}
费米-狄拉克统计可以从grand canonical ensemble, canonical ensemble, and microcanoncal ensemble推导。
如今的文献提起费米-狄拉克统计，会谓之为量子统计，言明是遵循泡利不相容原理的粒子的统计。这个考虑是用单粒子能量状态来描述几乎没相互作用的多粒子态，但没有两个粒子处于相同的那种多体状态中。这个费米子无相互作用的统计前提让我非常十分很困惑。如何将电子纳入无相互作用体系的图像的呢？或者是在将相互作用纳入了背景以后的问题中使用的统计？
据信，费米-狄拉克统计是1925年由约当（Pascual Jordan，1902-1980）先推导出来的，并且他称之为泡利统计[Jürgen Ehlers, Engelbert Schücking，Jordan, Pauli, Politics, Brecht, and a Variable Gravitational Constant, Physics Today 52(10), 26-31(1999); Jürgen Ehlers, Engelbert Schücking，Aber Jordan war der Erste (约当才是第一个),Physik Journal 1 (11), 71-74(2002)]。约当把论文投给了Zeitschrift für Physik，而主编玻恩老师把稿件往抽屉里一塞去了美国，半年后回来再拿出这篇论文，费米的论文已经发表了（图26）。在约当的《量子基础上的统计力学》 (Statistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage, Vieweg (1933))一书里，约当提到这个统计，但不提任何人的名字，其中悲愤，估计别人是无法体会的。此外，波动力学最关键的关系式p→iħ∂也是约当于1925年及时提出来的。没有这个关系式，哪有1926年薛定谔的方程用于氢原子问题，即把一个形式方程转化成一个具体的二阶微分方程？
图 26. 谈论约当投稿被耽误一事的文献截图 [取自Ehlers & Schücking, Physics Today].
注释
[13] 别见到个Akademie, Academy就翻译成科学院，Academy, Ακαδήμεία，来自雅典一个英雄的名字。Ακαδήμεία是雅典城外一片供奉女神雅典娜的种橄榄树的园子，garden，柏拉图老师在约公元前385年在那园子里办学，才让Ακαδήμεία一词有了高大尚的意思。一般把Academy of Sciences翻译成科学院，科学这个标签是要硬贴上去的。在法国，Académie层次在l’Institut de France之下。
[14] 原文如此。
[15] Zelle, cell, 生物学中汉译为细胞，固体物理中汉译为单胞、元胞。Electric cell则被译成电池。中国人在不着调的学者带领下学个科学真难啊 ↑
[16] Ensemble 被汉译成系综，割裂统计物理同其它数学的联系。哪有什么系综，就是简单的集合而已，可按法语中的ensemble来理解，见Nicolas Bourbaki, théorie des ensembles (集合论), Springer (2006).
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