剖析雅各布.伯努利一影响深远的方法错误──兼谈无理数e的秘密 十 二

十二 掀开蒙在上帝公式e^(πi) ＋1=0头上的神秘面纱

( 题注; 我辨析雅各布.伯努利提出的“连续复利法”基础上构成的连续(复利)计算模型30多年，多次发表文章论证这模型构成的错误，可这错误在多门大学教材中存在至今而很难改掉，经过长期观察指数函数式A。e^(rt)，发现其中r的意义后，也就想到这上帝公式，原来这上帝公式就是函数z(t)=e^(it)在t=π时的值z(π)=e(iπ) =-1)

不少书中都讲到复数域中的欧拉公式e^(πi) ＋1=0，如以色列人的著作《一个常数的传奇》、日本人的著作《数学与生活》、中国人的著作《不可思议的e》等数学书中都讲了这欧拉公式，这个公式把五个最特殊的数0、1、i、π、e连在一起，让它们共处于等式e^(iπ)＋ 1=0中，后来的人们给出了四五中方法证明这等式是正确的，但人们都没有看到这公式是怎么构成的。美国数学家本杰明.皮尔斯说”这个公式是绝对正确的，也是绝对诡异的，我们能够证明它，但不能理解它”，

以色列学者伊莱.马奥尔评论说，“很多人认为它具有不亚于神的力量”。

百度一下可看到，这公式也被称为上帝公式。

在实数域中，对于余弦函数cost，通过图示我们能观察得出cosπ=–1，这就有cosπ ＋1=0，这就是余弦函数把三个特殊的数0、1、π共处一式了，没有谁会感觉到这样让0，1，π共处一个等式cosπ ＋1=0神秘，也不会想到再用什么其它方法证明cosπ＋ 1=0这一恒等式。

在复数域中，对于欧拉恒等式e^(iπ)＋1=0也应该是一样的。

在复数域中，对于指数函数e^(it)，通过图示我们能直接得e^(iπ)=–1 ，这就有e^(iπ) ＋1=0，这就是指数函数e^(it)把五个特殊的数0、1、i、π、e共处一式e^(iπ) ＋1=0了，这就不需要再用什么其它方法进行证明。

接下来我们来看对于指数函数z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.

在复平面上，函数z(t)=e^(it)随t变化的轨迹是一条曲线，z(t)=e^(it)的导数是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲线上任何一点，iz(t)表达的是动点z(t)的运动方向与矢径本身z(t)总保持反时针方向垂直，所以z(t)轨迹是一个圆。因为z(0)=1，所以z(t)的轨迹是一单位圆 。

dz(t)/dt的方向是z(t)的运动方 向，绝对值Idz(t)/dtI是动点z(t)的线速度，Idz(t)/dtI=1，在单位圆上，z(t)路径的长度与经过这路径时t的数量恒相等，t从0变化到π，z(t)在单位圆上的路径，或说弧长也就是π，在单位圆上从z(0)=1反时针方向经过弧长π，就是-1，即z(π)=e^(iπ)=-1，这就得到了复平面上的欧拉公式

e^(iπ) ＋1=0

这就让数字0、1、i.π、e共处于一个等式中了，这所谓上帝公式其实就是指数z(t)=e^(it)在t=π处的值，这式子没有任何神秘之处。

我们已知道，e^(iπ)表达的是单位圆上幅角为π的点，以同样的思路可知，e^(ix)表达的是单位圆上幅角为x的点；我们还知道，cosx ＋isinx也是单位圆上幅角为x的点，即为e^(ix)与cosx ＋isinx为单位圆上的同一个点，所以

e^(ix)=cosx＋ isinx

恒成立。