黑体辐射公式的多种推导及其在近代物理构建中的意义(五)

黑体辐射公式的多种推导及其在近代物理构建中的意义(五)

原创2022-03-29 09:51·返朴

黑体辐射是近代物理史上一只会下金蛋的鹅，是近代物理的摇篮。黑体辐射研究的意义还在于这是唯一一个涉及c, k, h三个普适常数的物理情景。黑体辐射谱抗测量误差的特性带来了辐射标准和绝对温度参照，谱分布公式对模型的不敏感则使得黑体辐射成为独特的物理研究母题。黑体辐射谱分布公式，普朗克多角度推导过，德拜推导过，艾伦菲斯特推导过，劳厄推导过，洛伦兹和庞加莱深入讨论过，泡利推导过，玻色推导过，爱因斯坦在20多年的时间里多角度推导过且产出最为丰硕，近代还有从相对论角度的推导，每一个角度的推导都带来了物理学的新内容，这包括量子力学、固体量子论、受激辐射、量子统计、相对论统计，等等。认真回顾黑体辐射研究的历史细节，考察其中的思想概念演化。不啻于体验一次教科书式的学（做）物理之旅，比如也可以尝试给出能量局域分立化的简单新证明。

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

黑，真他妈的黑啊！

——刘慈欣《三体》

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黑体辐射与相对论

黑体辐射的学问从一开始就是相对论统计，因为它的对象是光。实际上，1905年狭义相对论甫一问世，普朗克即将之用于在相对论热力学方向上培养博士，且于1906年即毕业了[Kurd von Mosengeil, Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraum（匀速运动空腔内静态辐射的理论）, Annalen der Physik 22, 867-904 (1907)]。热的传导方式之一是热辐射，黑体辐射也叫热辐射，因此用相对论的眼光看热力学是自然的。没有relativistic thermodynamics一章的热力学教程是不完备的。粗略算来，相对论热力学应该至少包括如下三方面的内容：1)黑体辐射公式的推导；2)运动空腔辐射体的运动学问题，这指向质能关系；3)温度T的洛伦兹变换。

研究运动物体热辐射的主角当推奥地利物理学家哈森诺尔（Friedrich Hasenöhrl，1874-1915）。哈森诺尔是维也纳大学毕业的物理天才，英年早逝，一生中培养过两个博士，其中之一是薛定谔。哈森诺尔在1904年即研究运动物体的辐射理论，发表过系列论文。在Mosengeil 1907年文章后面的791-792页上有Hasenöhrl的题为Zur Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmig bewegten Hohlraume[17]的点评。哈森诺尔指出，die (wahre) relative Strahlung das Lambertsche Kosinus gesetz befolge（遵循Lambert cosine-律的相对运动的辐射），是我觉得唯一同热力学契合的假设。Mosengeil的工作表明另一个假设也是可能的。此外，亚布拉罕（Max Abraham，1875-1922）也有自己的关于运动空腔辐射的理论。这些信息可以作为研究此一问题的起点。

哈森诺尔以及普朗克等人的关于空腔辐射和热力学的论文有：

1. Friedrich Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung bewegter Körper, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien 113 IIa, 1039(1904). 有英文本On the Theory of Radiation of Moving Bodies.

2. Friedrich Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern, Annalen der Physik 15, 344-370 (1904). 有英文本On the Theory of Radiation in Moving Bodies.

3. Friedrich Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung, Annalen der Physik 16, 589-592 (1905). 有英文本On the Theory of Radiation in Moving Bodies. 有勘误.

4. Friedrich Hasenöhrl, Zur Thermodynamik bewegter Systeme and Zur Thermodynamik bewegter Systeme (Fortsetzung) (1907-1908), Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. 116 IIa (9): 1391-1405 (1907); 117 IIa (2): 207-215 (1908). 有英文本On the Thermodynamics of Moving Systems.

5. Kurd von Mosengeil, Theorie der stationären Strahlung in einem gleichförmich bewegten Hohlraum,Annalen der Physik 327(5), 867-904(1907).

6. Max Planck, On the Dynamics of Moving Systems, Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin. Erster. Halbband (29), 542-570(1907).

7. Max Planck, Notes on the Principle of Action and Reaction in General Dynamics, Physikalische Zeitschrift 9(23), 828-830(1908).

8. Max Planck, General Dynamics & Principle of Relativity, Eight lectures on theoretical physics, Columbia University Press (1915).

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浑身都是物理的普朗克谱分布公式

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光是局域量子化存在的新简单论证

一个物理理论是否正确，首先要经受住逻辑判断的考验。一个存在内在逻辑矛盾的理论肯定是不正确的。物理史上有一个绝妙的例子，就是落体实验。从前亚里斯多德的物理学主张在地面上重的物体下落较快。传说中伽利略曾经从比萨斜塔抛下两个铁球，证明了不同重量物体同步下落（图27）。后世有许多所谓或真或假的落体实验，比如比较震撼的俺也不知道真假的月球表面的锤子与羽毛同步下落的视频。不管这些实验是真是假，实验都无力证明“引力场中物体同步下落”（同步与否是个原则性问题而不是测量误差问题）。且不说永远没有令人信服的同步开始下落以及到达落点的判定等问题，即便一切无碍，设测得的

图27. 传说中的比萨斜塔上的落体实验。

黑体辐射的普朗克公式以及能量量子概念的出现，更加激起人们理解光的本性的兴趣。以普朗克公式为出发点，那对辐射的构成（Konstitution der Strahlung）能推知点儿什么呢？在这一点上，爱因斯坦又做到了直击问题的本质，他1905年到1909年的论文都强调黑体辐射问题必然牵扯到光的吸收与发射的问题。根据爱因斯坦1909年得到的关于黑体辐射场涨落的结果，涨落由两项之和构成，其中一项来自辐射的粒子性，另一项来自辐射的波动性。很多年前，笔者隐约意识到光的波粒二象性更应该看作是高频时光表现为粒子，而在低频时更多地表现为波。如今从爱因斯坦的黑体辐射场涨落公式来看，瞬间就合理了。

受此启发，笔者于2021年10月20日想到关于波粒二象性，也许还可以作如下诠释：自点光源出发的辐射，在近处（能量）密度大时，波动性明显，到远处密度变得稀疏时，粒子性明显。这是笔者对波粒二象性的一个诠释，即便有错也令人鼓舞。与此相应，在《科学的价值》一书里庞加莱曾论及数学的物理目的与美学目的，他认为我们不可牺牲任何一个。这两个目的是不可分的，达成其一的最佳办法是瞄准另一个，至少绝不可让另一个逸出视野（ces deux buts sont inséparables et le Meilleur moyen d’attendre l’un c’est de viser de l’autre, ou du moins de ne jamais le perdre de vue）。庞加莱如是说。而这，愚以为是对光的波粒二象性的一个贴切的表述。

上述论证基于一个简单的事实，辐射有个发射的过程。太阳的升起，让我们知道光有关个发射的过程，这个说法未必正确，但是我们人类自己操控的柴火、电灯让我们确信光有个发射的过程，有一个从无到有的过程。上述论证还是用了球波（spherical wave，不是球面波）的概念。从一个光源连续发出的光充满以源为中心、半径为cτ的球形空间。在三维物理空间中，点源发出的辐射，假设在近处可以用波近似的话，是球波。如果用平面波想象一束光，平面波的假象则会限制这个想法，因为平面波没有无限延展变稀薄的问题。笔者想通这一点，来自福格特（Woldmar Voigt，1850-1919）对爱因斯坦1909年论文点评的启发。三维空间的平面波，从字面上看就是个降维产物。平面波是个很坏的模型，极具误导性。

注释

[17] Hohlraume，原文如此

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