古埃及分数的现代奇遇

将整数表示为分数和，可以追溯到3000多年前古埃及中的数学问题，而与之关系密切的古埃及分数，至今仍激发着数学家的好奇心。上世纪80年代，著名数学家埃尔德什·帕尔猜想，任何“足够大”的整数集合都能通过对其倒数求和最终组合成，1但他并未证明自己提出的猜想。最近，这个延续了40年的猜想得以解决。

撰文 | 张和持

古埃及分数

莱因德纸草书记载的奖有理数表示为分数和 图片来源：Alamy Stock Photo

自然密度

寻找解析数论的新方法

不过即便是证明第一问，也并非易事。这种涉及加法的数论研究一般将其称为加性数论或堆垒数论。这个分支相信许多数学爱好者有所耳闻，因为中国解析数论学派的代表人物华罗庚、陈景润等人，都在这一方面作出巨大贡献。华罗庚还写过《堆垒素数论》一书；大家熟知的哥德巴赫猜想也属于这一领域。

对于加性数论的大多数问题，常用初等方法乃至代数方法接连失效，剩下能打的就只有解析数论了。所谓解析数论，就是将数论问题转化为对某个函数或积分的估计（所谓解析就是分析，即涉及极限，微积分及其衍生产物的学科）。这也是加性数论对外行来说过于抽象的原因：明明是一个数论问题，证明过程却全是积分和估计式。

埃尔德什和葛立恒的猜想也是如此。埃尔德什于1996年与世长辞，他一生未婚，也没有儿女；只留给人类1525篇论文，他也因此成为了发表论文数量最多的数学家。直到生命的尽头，他都没有看到自己的猜想得到证实。几年后的2003年，欧内斯特·克鲁特（Ernest S. Croot III）的论文[2]横空出世，证明了猜想的第一问。值得一提的是，早在2000年，克鲁特就在自己的博士论文中证明了这一结论。克鲁特引入了强有力的调和分析方法，既优雅又极富技巧性。这让学术界对这位新星大为期待。

所谓调和（harmonic），在物理中一般翻译为谐波，这门学科来自于傅立叶的惊人发现——很多周期函数都能分解成三角函数的无穷和，也就是傅里叶级数。更加神奇的是，傅里叶级数和傅里叶积分可以用来估计数论中的一些函数，这就将调和分析和解析数论紧密地联系在了一起。从那时起，这两门学科就互相支撑着向前，并在二十世纪现代数学的抽象浪潮下飞速发展。

但面对第二问，克鲁特的巧妙方法失效了。不论他如何摆弄现有的工具，都没办法取得更多进展。此后，克鲁特转向了其他问题的研究，我们的猜想也在二十年中停滞不前。到了2020年，葛立恒因病去世，他也没有能够看到猜想的解决。

转机发生在2021年。九月的一天，牛津大学的博士后托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）接到了一项任务，给他们的讨论组讲解二十年前克鲁特的论文。在准备的过程中，布鲁姆突然灵感乍现——克鲁特的方法并没有走到尽头！他马上着手这项工作。

在这二十年中，虽然猜想并没有进展，但调和分析等前沿数学并没有止步不前。现在，布鲁姆的手上掌握了更多工具。他采用更先进的组合数论/解析数论技术，改进了克鲁特的方法，最终在几个月内完成了证明。

参考文献

[1] Erdős, P. and Graham, R. L.: Old and new problems and results in combinatorial number theory. Enseign. Math. 30-44 (1980)

[2] Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054.

[3] Cepelewicz, Jordana (2022-03-09). "Math's 'Oldest Problem Ever' Gets a New Answer". Quanta Magazine. Retrieved 2022-03-09.

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