这个图形为何让数学家着迷？

中科院物理所 2016-12-14

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　　世界上最杰出的数学家和建筑师，当然是大自然。从蜂巢到蝇眼，再到海绵的多孔骨架，自然利用简单的六边形做出了的最精妙设计，永远无法被超越。

　　撰文 PHILIP BALLAPRIL

　　翻译徐付琪

　　审校赵维杰

　　面对蜂巢紧密排列的完美六边形截面，每个人都会惊叹于这一精密的工程学奇迹，并好奇蜜蜂究竟是怎样把蜂巢搭建得如此完美。蜂蜡墙壁的厚度恰到好处，每个巢房都微微倾斜，刚好阻止了粘稠蜂蜜的流出，而整个蜂巢的方向又与地球磁场方向一致。很难想像，这种建构不需要蓝图，蜜蜂之间的精妙合作就能够完全避免巢房之间的错配。

　　亚历山大时期的古希腊哲学家帕波斯认为，蜜蜂一定具备“某种几何学规划能力”。赋予它们这种能力的，或许只能是上帝？ 1852年，William Kirby 就称赞蜜蜂为 “天赋数学家”。达尔文却对这种观点心存疑虑，他设计了一系列实验，来验证蜜蜂是否会依照他的进化论，仅凭进化和遗传而得的本能就构建出完美的蜂巢。

　　蜂巢：蜜蜂似乎进化出了用自身分泌的柔软蜂蜡搭建完美六边形巢房的能力。然而一些研究者认为，柔软的蜂蜡的表面张力本身就足以把每个巢房撑出特定的形状，就像泡筏中肥皂泡之间的堆积一样。图片来源：Grafissimo / Getty

　　但是，为什么偏偏是六边形？这其实是一个很简单的几何问题。如果想要用单一形状和大小的图形单元铺满整个平面，只有三种单元可供选择：等边三角形，正方形和正六边形。而三者之中，铺满相同面积时正六边形的周长之和最小。考虑到蜜蜂会像建筑工人希望少用砖头一样尽可能节省宝贵的蜂蜡，这种选择就不难理解了。人们在18世纪就明白了这个道理，达尔文称赞正六边形的蜂巢是“最节省劳动和材料的完美选择。”

　　达尔文认为，建造六边形巢房的蜜蜂消耗的能量和时间更少，具有生存优势，在自然选择的作用下，这样的建造方式就成为了蜜蜂的本能。然而，即便蜜蜂似乎确实拥有测量角度和墙壁厚度的能力，并不是所有人都认为，它们确实在建造蜂巢时使用了这种能力。毕竟，六边形阵列在大自然中随处可见。

　　肥皂泡：单层肥皂泡（泡筏）中绝大部分泡泡是六边形。虽然不是所有泡泡都是正六边形，也有一些泡泡存在“缺陷”，呈五边形或七边形，但所有泡泡之间的连结位置都是三个泡泡接触在一起，交角约为120°。图片来源Shebeko / Shutterstock

　　如果在水面平铺一层肥皂泡（形成所谓“泡筏”），这些泡泡会自动变成六边形或近似六边形。自然界不存在正方形结构的泡筏，当四个泡泡碰到一起时，它们会迅速重新组合成三三相接的结构，泡泡之间的角度约120°，就像奔驰车标一样。

　　奔驰车标。图片来源：奔驰百度广告。

　　显然，肥皂泡的结构并不是蜜蜂或者其它生物刻意搭建的，决定其六边形形状的是单纯的物理规律。这种规律存在偏好性，使得泡泡之间倾向于形成120°的稳定连接。在更复杂的立体泡堆结构中，同样存在类似的偏好性，如果用吸管吹动泡筏，你会看到泡泡堆叠在一起，每个连接点有四个泡泡，角度约为109°，与正四面体角度接近。

　　自然中的泡堆模式：泡泡的堆积模型被大自然应用。图中的海蜗牛分泌粘液，将气泡粘在一起，制成的浮力筏悬挂在海面上。浮力筏可以帮助海蜗牛捕食水面上的生物。

　　是什么决定了肥皂泡的连接方式和形状呢？相比蜜蜂，大自然是一位更加斤斤计较的工匠。泡泡和肥皂膜主要由水构成（水表面覆盖着一层肥皂分子），表面张力会使肥皂泡尽可能地缩成球形。下落中的雨滴同样接近球形，以获取相同体积下最小的表面积，蜡质叶片上的水珠也是同样的道理。

　　水滴：疏水表面上的水经常会分裂成小水滴。表面张力对水滴形状起决定性作用，使水滴呈球形。此外，重力（在垂直方向上把水滴压扁）和水滴-固体表面之间的力也影响水滴形状。如果后两种力更强，水滴就成了扁平的透镜一样的形状，如果表面疏水性能不好，液体将摊成平坦而光滑的膜。图片作者：左上: Stuchelova, Kuttelvaserova / Shutterstock;右上: Olgysha / Shutterstock;底部: Pitiya Phinjongsakundit / Shutterstock

　　我们可以用表面张力解释平面泡筏和立体泡堆的结构。泡堆会自发形成表面张力总和最小，即泡泡表面积总和最小的结构。同时，堆积结构的稳定性也需要保证，连接处的力需要在每个泡泡之间均匀分配，才能建起“泡泡大楼”。单层泡筏中三个肥皂泡相接，堆叠的泡堆中四个肥皂泡相接，都是为了取得这一平衡。

　　有些人认为蜂巢的本质就是由柔软蜂蜡固化形成的泡筏，但这无法解释为什么造纸胡蜂的巢穴也都是六边形结构。造纸胡蜂是一种特殊的胡峰，它可以咀嚼木纤维或者植物茎部，混合唾液后合成一种特殊的“纸”。这种纸的表面张力小到可以忽略，而不同种类胡蜂巢穴的整体形状也差异显著。

　　造纸胡蜂

　　生物细胞的排列也常常遵守着同样的规则。蝇类的复眼是和泡筏一样的六边形阵列，每个小眼背后的四个感光细胞也按照同样的规则排列。在拥有不只四个感光细胞的突变个体中，这些细胞形成的新的堆叠方式依旧遵循泡筏规则。

　　复眼：昆虫的复眼也像泡泡一样，是六边形的阵列，区别在于昆虫复眼中的每个小眼都与平面下一个细长的视网膜细胞相接。复眼这类细胞堆积方式和泡筏的原理一致，任何一个交接处都有三个细胞。图片为苍蝇复眼的显微照片，每个小眼由四个感光细胞组成，而感光细胞的排列方式也和四个泡泡的排列方式相同。图片来源：Tomatito / Shutterstock

　　泡泡之间的连接方式是由力学规律决定的，但每个泡泡的具体形状并不确定。一堆泡沫里往往有形状大小各异的泡泡。仔细观察每个泡泡的边缘，你会发现它们很少有严格的直线，都或多或少带些弧度。这是因为，泡泡越小内部的压力就越大，在压力作用下，与大泡泡相邻的小泡泡的边缘会稍稍外凸。此外，还有一些泡泡呈四边形，五边形，七边形…… 边缘的轻微弯曲让这些形状的泡泡也能够以四面相接的形式彼此接触，形成满足力学稳定性的四面体结构。虽然泡泡的形状会发生微调，但它们并非乱作一团，依然遵循着一定的规律。

　　那么，是否存在一种完美的泡泡形状，可以让泡堆中的每个泡泡大小一致呢？什么样的形状可以在取得最小总表面积的同时，满足结构对接触角度的要求？人们已经为这个问题争论了很多年。长期以来，人们一直认为这种理想的形状是由正方形和六边形表面围成的一种十四面体。但是在1993年，人们发现了一种不那么规则却更加经济的的结构。严格来讲，这种结构不是单个泡泡的形状，而是一个由八种不同形状的泡泡拼接而成的组合单元。北京奥运会的水立方正是运用了这种复合结构。

　　水立方图片来源：hwjyw.com

　　在表面张力的作用下，肥皂水会在闭合的线框间形成薄膜（想想吹泡泡用的塑料圈）。如果线框弯曲，膜的表面也会随之弯曲，用最小的膜面积覆盖整个区间。这给试图用最少材料建造复杂屋顶的建筑学家提供了启示。除了弗雷·奥托等把经济因素排在首位的建筑师，这种“极小曲面”本身的优美也吸引了众多科学家。

　　弗雷·奥托为1972年德国慕尼黑夏季奥运会设计的主要场馆屋顶。图片来源：www.dezeen.com

　　极小曲面的表面积和总曲率均最小。一般来说，曲面弯曲得越剧烈，曲率就越大。但是曲率可以是负数（内凹）或者正数（外凸），所以将一个复杂曲面各处的曲率相加之后，得到的总曲率也可能为零。

　　这种平均曲率很小的复杂曲面可以把空间划分为由各式通道有序连接而成的迷宫式网络，这样的结构被称为“周期性极小曲面”（周期性是指这种结构重复出现，规则排列）。这种结构最早发现于19世纪，最初人们只把它当做数学家的游戏，但现在我们知道，自然界中也存在着这种结构。

　　一种极小曲面。图片来源：www.zuinow.com

　　在植物、鱼类、小鼠等多种生物的细胞中都存在此种结构的显微膜结构。虽然没人清楚它们的具体功能，但是这种结构的分布如此广泛，让人不禁推测它们一定有着某种特殊的功能。或许它们可以将不同的生化反应隔离在不同的小室中进行，防止彼此干扰；或许这种结构只是为了用更少的材料制造出更多可以供酶附着并催化生化反应的“工作膜面”。不管这种结构的作用如何，毋庸置疑的一点是，促使这种结构形成的并不是一套复杂的基因指令，而只是单纯的物理规律。

　　绿灰蝶和宽绒番凤蝶的翅膀上也存在这种结构，它们翅膀上坚硬的几丁质形成了这种规则的迷宫，其形状与一种被称为“螺旋二十四面体”的周期性极小曲面一致。这种翅膀表面规律的凸起和其他结构一起以特殊的方式反射光线，不同波长的光线彼此叠加导致一些颜色消失，又产生新的颜色。这种结构是动物体表颜色形成的一种特殊方式。

　　海胆（Cidaris rugosa）多孔的网状外骨骼则遵从着另一种周期性极小表面，这种外骨骼保护着海胆的软组织。这种布满突起，外观奇特的外骨骼的成分和粉笔、大理石一样，都是碳酸钙。和飞机使用的泡沫金属材料一样，这种开放的网格结构兼顾了轻便与强度。

　　Cidaris rugosa 的骨架化石。图片来源pinterest.com

　　一些生物还会把这种结构应用在更为复杂的场景中。这种结构反射光线的模式特殊，交织的结构可以像镜子一样引导或者限制光线的传播。海鼠（一种独特的海洋蠕虫）的几丁质外壳突起中存在蜂巢式的纤维状中空管状结构，这些毛状的突起形成了允许光线通过的天然光纤，让海鼠可以在来自不同方向的光线照射下，显现出从红色到浅蓝绿色的不同颜色，这种巧妙的变色方式可能可以震慑它的捕食者。

　　为了构建出这些由坚硬矿物质形成的规则结构，这些生物需要首先用柔软可变的软组织或者膜结构做出模具，再在这个柔性的网络内部完成矿化作用。海洋中充满着这样的的例子。一些海绵的外骨骼就是这样形成的，这些外骨骼的形态就像是泡堆中各个泡泡边缘形态的集合——在表面张力这位建筑大师手下，这样的结果不足为奇。

　　矿物质网：海绵的“维纳斯花篮”式多孔骨架。这样的结构是由填充在泡状软组织空隙间的矿物质形成的。图片来源: Dmitry Grigoriev / Shutterstock

　　同样运用了这种“生物矿化作用”的海洋生物还包括放射虫和硅藻。它们由五边形和六边形组成的矿物质外骨骼排列精妙，就像是“海洋中的蜂巢”。德国艺术家、生物学家 Ernst Haeckel 将这些在显微镜下观察到的外骨骼集结成册，于1899年出版了图集Art Forms in Nature，这本图集不仅影响了二十世纪早期的艺术家，直到现在也令人惊叹。