天元术：领先欧洲三百年学会发明方程式

　　“28-x2-3=0”、“ x2+2x－3=0”，像这种一元二次方程，初中学生都能很快解答出来。但在800多年前那个没有字母代数的时代，中国人遇到这类用文字描述的问题，通常都是大眼瞪小眼。宋代以前，数学家要列出一个二次以上的方程，是一件相当困难的事情，原因有三，一是计算方法不系统，二则没有固定的计算格式，三是需要大量的文字说明。人们期盼有人能推出系统计算未知数的方法。 

　　十二、十三世纪，中国北方终于出现了一种系统解一元方程的方法，即著名的天元术。“天元”即未知数的意思，简单地说，就是代数中惯用的字母“x”。其实，唐朝已经有天元术的初步概念：数学家王孝通在《缉古算经》中，便创立了一种“带从开立方”法，用以求解三次方程。两宋时，类似天元术的思想被运用到数学计算中：北宋数学家贾宪将“带从开立方”法加以改进，创造了“增乘开方法”，并且提出了“开方作法本原图”；北宋数学家刘益首次研究了各项系数可正可负的一般方程解法；秦九韶则将“增乘开方法”推广为任意高次方程的求正根方法。 

　　相当于： 

　　“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等著作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。 

　　公元1248年，12卷的《测圆海镜》的天元术专著诞生。从此书开始，文词代数演变成符号代数。《测圆海镜》是一本高雅、正宗的数学专著。其高雅之处有三： 

　　一是总结性强。该书第一卷“识别杂记”阐述了用勾股弦求内切圆直径的方法，这些方法都是整合前代数学家所成。该书600多条定义，就是古代勾股容圆的总结。从第二卷起，他总结出一套行之有效的天元术程序，并用182种方法先后解答了148个问题。 

　　二是专业度高。书中所列的天元术理论，勾股形解法，数学抽象化的新起点等知识，都是当时最先进的理论知识。 

　　三是敢于创新。为了计算方便，该书中首次使用了负号（在数字上面加一横）和符号○（中文数字），以及一套先进的小数记法。这些都比西方数学家早几百年。 

　　李治很快认识到，自己花费十几年心血写出的《测圆海镜》太过高雅、精深，一般人看不懂，普及天元术从何谈起？为此，他决心写一部天元术的基础读物。经过十几年努力，他终于完成了三卷《益古演段》。 “益古”指蒋周的专著《益古集》，“演段”即《益古集》中演示的条段法。所谓条段法，是根据古书《九章算术》中用几何方法代替代数方程的方法，因方程中各项均用条形面积所表示而得名。很显然，条段法是一种旧法，虽然直观，但计算麻烦且占篇幅。《益古演段》正是把条段法转化为天元术的第一理论书，正如序言所讲：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉！” 

　　《益古演段》最大特色就是用天元术解决日常所见的方、圆面积等问题。除四道题是一次方程外，其它都是二次方程，内容安排基本上是从易到难。当时只要熟读《益古演段》，便可依葫芦画瓢地列出方程解决类似问题。可以这么说，目前初中数学教材上的一元二次方程，其解题思想均来自于李冶的《益古演段》。 

　　《测圆海镜》和《益古演段》成为世界上至今保留下来的有关“天元术”研究的最早、最完整而详细的著作。如果说之前的天元术还像一棵小树，那经过这李冶这两本书的“灌溉”，小树长得枝叶繁茂。 

　　天元术是宋元时期数学家作出的重要贡献，但当某个问题中包含多个未知数时，应当怎么办呢？朱世杰将天元术原理应用于联立方程组，在著作《四元玉鉴》中指出，当未知数不止一个时，除设天元外，根据需要还可以设地元、人元、物元，这就相当于我们今天常用的字母符号x、y、z、u，然后列出有四个未知数的四元联立高次方程组。朱世杰在《四元玉鉴》中给出了天、地、人、物四元及常数项的算筹放置方法，进而举例说明了如何用消去法逐渐消去多元方程组中的未知数，最终得到一个只含一个未知数的一元高次方程的方法。《四元玉鉴》虽未提及一元高次方程的解法，但这个问题显然已不成为问题了，朱世杰的前人已解决了它。在欧洲，法国数学家贝佐于18世纪也系统叙述了高次方程组的消元法。 由天元术引入的四元术，不仅是中国古代数学领域最光辉的篇章，也是中世纪世界数学史上最杰出的一页。 

　　天元术的成熟，标志着中国代数学进入了“半数学符号”发展阶段。由于各种原因，这个阶段持续时间比较长。公元1798年，清代藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了后人学习天元术的《测圆海镜细草》十二卷；此后，数学家焦循和李锐合写的《天元一释》和《开方通释》两书，用较为明白的语言详细记载了解未知数的天元术。至此，天元术终于和现代方程论融合于一体。 

　　天元术的发明，在世界数学史上有重要的意义。西方数学史上，16世纪的法国数学家韦达较为系统地引进数学符号，比中国天元术晚了300多年。 

　　注一：元好问，字裕之，号遗山，太原秀容（今山西忻州）人，金末元初著名作家和历史学家、文坛盟主，是宋金对峙时期北方文学的主要代表，又是金元之际在文学上承前启后的桥梁，被尊为“北方文雄”、“一代文宗”，其诗、文、词、曲，各体皆工。其《论诗》绝句三十首在中国文学批评史上颇有地位，作有《遗山集》、《中州集》。