曲线到底有多长？

科普中国-科学原理一点通 2017-11-24

　　生活中，到处都有曲线。我们要想知道一条线段的长度，只需用一把尺子测量以下，即可得到精确的数据。对于曲线的长度，我们也会自然而然地拿起尺子去量。假如尺子的长度为s，测量了n次，即可得出这条曲线的长度为sn。但需要注意的是，这个长度并不精确，不是这条曲线的真实长度，而是一个近似值，原因是在测量的过程中，每一小段之间的弯曲都被忽略了。因此我们测量的曲线长度要比实际的长度短少一些。

　　生活中曲线无处不在

　　尺长更短，则曲线的测量值更精确

　　既然测出的曲线值是个近似值，要想使它更接近于曲线的真实长度，就应该尽量地测量出那些被忽略的弯曲。我们可以改用更短的尺子去测量曲线，这样就会使原来那些被直线代替的一些弯曲尽可能多地被测量出来，测出的曲线长度就会更加接近于曲线的真实长度，且所用的尺子越短，测量值就越精确。当所用的尺子无限地缩短，直至趋向于0时，测量值就会接近于某个确定的值，这个值就可看作是这条曲线的真实长度。

　　圆周长原来就是多边形的周长

　　2000多年前，希腊的阿基米德就用上述的方法测算出圆周长。他测量圆周长所用的尺子，是一个圆内接正多边形的边长，用Sn表示，测量几次，就表明正多边形有几条边，用n表示，那么首尾相接测量n次，其周长就是nSn，这也就是用长为sn的尺子测量出来的圆周长。当内接正多边形的边数n越来越多时，其边长Sn就会越来越短，也就是测量圆周的尺长越来越短，它测量出的圆周长就会越来越精确，假如让n变得没法再大，或者尺长Sn几乎就是个0时，测量出的长度就成了圆的精确长度。

　　阿基米德与中国的割圆术

　　并不是所有的曲线均可测算其长度

　　生活中常见的一些曲线，如二次曲线的一段等，均可用上述方法测量出其“真实的长度”。但数学上曲线长度的定义是比较复杂的，如果仅仅简单地用直尺测量曲线的长度，很多情况下是行不通的，也就是说，这样的测量方法并不是对所有的曲线都有效，因为并不是所有曲线都能够用直尺来测量出其长度。

　　1.科赫曲线：一条无穷大的曲线

　　1904年，瑞典数学家科赫构造了一条曲线，其过程如下：

　　（1）取一条线段，其长度为1；

　　（2）把线段进行三等分中间的部分用一个等边三角形的两边来代替。这样，这条线段就变成了一条由4条小线段组成的折线，小线段的长度为原线段长度的1/3。再对每条小线段进行如上的步骤。

　　（3）上述步骤无限重复进行，最后就得到了一条曲线，我们称它为科赫曲线。

　　科赫与他的科赫曲线构造过程

　　那么，这条曲线的长度是多少呢？下面就测量一下：

　　我们如果用长度为1/3的尺子来测量，则需要测量4次，得到的长度为4/3；用长度为1/9的尺子测量，则需要测量16次，得到的长度为16/9；用长度为1/27的尺子测量，则需要测量64次，得到的长度为64/27……如果用长度为（1/3）的尺子测量，则需要测量4ⁿ次，得到的长度为（4/3）ⁿ。

　　从上面的测量过程中可以看出，n的值愈大，尺子的长度就愈短，测量出的长度就愈大，当n无限增大时，测量出来的长度也随着无限增大，根本就不会靠近某个确定的数值。这表明我们无法求出科赫曲线的长度，换句话说，科赫曲线是一条无穷长的曲线。

　　2.奇特的科赫雪花曲线：面积有限，周长无限

　　从上面的介绍可以看出，科赫曲线的长度无限长，一条看起来明明有头有尾的曲线，为什么它的长度无法求出呢？

　　（1）奇特的曲线

　　从表面上看，科赫曲线弯弯曲曲好像没有什么特别之处，但它却是一条奇特的曲线。

　　奇特之一就是科赫曲线有无限的长度，奇特之二是科赫曲线首尾相接可围成一个图形，呈雪花形状，被称为科赫雪花曲线，它围成的图形面积是有限的，可是周长却是无限的。奇特之三是科赫曲线上的任何一点均没有切线，处处不光滑。奇特之四是在科赫曲线上任取一小段，均可被无限拉长，但无论你怎么拉，它都是弯曲的，均拉不成一条直线。

　　美丽的科赫雪花曲线图

　　（2）科赫雪花曲线周长不可求出的奥秘

　　从以上的介绍可以看出，圆周和科赫雪花曲线均为首尾相接的曲线，均可求出面积，但圆周可求出其长度，而科赫雪花曲线却无法求出其长度，其原因是什么呢？将二者比较一下，即可看出它们本质上有很大区别：圆周是光滑的曲线，而科赫曲线却处处不光滑。所谓“光滑”，从数学的角度来讲，就是它处处有切线，在切点附近，曲线非常接近于直线。

　　把圆周上的一点进行局部放大，我们可以明显地看出，圆周上的一点附近很小的局部非常接近于直线，因此，我们就可以用小而直的尺子进行测量这一小段，应该是几乎无任何损失，得到的测量值误差几乎可以忽略不计。尺长越缩短，总测量值误差就越小，最终与圆周的实际长度一致。

　　与圆周不同，把科赫雪花曲线上的任何一小段进行放大，我们可以发现，它们个个都是整条曲线的复制品，与原曲线相似，与原曲线一样复杂，永远不会与直线近似，它上面再小的一段均不能用直尺来近似地替代，因此我们自然就不能用直尺测量出它的长度。

　　更奇特的曲线

　　在数学上，通常把任意小局部均与整体相似而，且与整体一样复杂的性质称为自相似性。现在对这些具有相似性的几何对象也赋予了一个新名字——分形。

　　科赫曲线尽管不可求长，但是，它的构造是比较有规律的，所以，上面的介绍我们大家都比较容易接受。但它并不是唯一一条不可求长的曲线，也不是最复杂的曲线。像这样处处不光滑，点点无切线、不可求长性质的曲线还有很多，而第一条这样的曲线是魏尔斯特拉斯曲线，是德国数学家魏尔斯特拉斯构造的，在这条曲线构造之前，在大多数人的意识里，一条曲线除少数点以外，其他地方应该都是光滑的、点点有切线的，其长度应该是可求出的。魏尔斯特拉斯曲线的诞生，打破了这种固有的认识和观念，在数学上可称得上是一大创举。不过魏尔斯特拉斯曲线比科赫曲线要复杂得多，我们一般人可能无法接受和难以想象。