辛形式

　　数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。

　　简介

　　数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式ω 的向量空间V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。

　　确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V×V→R满足：

　　斜对称：ω(u,v) = −ω(v,u)，对所有u,v∈V成立；

　　非退化：如果 ω(u,v) = 0 对所有v∈V成立，那么u= 0 。

　　取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的辛矩阵，辛矩阵表示空间的一个辛变换。

　　如果V是有限维的那么维数必须为偶数，因为每个奇数阶斜对称矩阵的行列式为 0。

　　非退化斜对称双线性形式和非退化“对称”双线性形式，比如欧几里得向量空间的内积，的表现非常不同。欧几里得内积g，对任何非零向量v，均有g(v,v) > 0 成立；但是一个辛形式 ω 满足 ω(v,v) = 0 。1

　　非退化

　　在线性代数及相关数学领域中，零向量（也称退化向量）即欧几里得空间里的中所有元素都为 0 的向量(0, 0, …, 0)。零向量的表式法于印刷体会打成稍微斜一点的粗黑体数字或粗黑体大写英文字母，手写的为避免与数字0混淆，因此会在数字0上面加上一个向右的(半)箭头表示这是一个零向量，如：、。

　　在一般的向量空间中，零向量是唯一确定的向量。它是向量加法的单位元素。

　　证明：零向量是唯一的：若a和b为零向量，则 a = a + b = b。1

　　双线性形式

　　在域F中,向量空间V的双线性形式指的是一个V×V→F上的线性函数B, 满足：，映射：

　　都是线性的。这个定义也适用于交换环的模，这时线性函数要改为模同态。

　　注意一个双线性形式是特别的双线性映射。2

　　参考

　　双线性映射

　　多线性映射

　　二次方程式

　　半双线性形式

　　本词条内容贡献者为:

　　胡建平 - 副教授 - 西北工业大学