矢量磁位

　　矢量磁位又称磁矢势 ，在电磁学里，通常标记磁矢势的旋度为磁场。

　　磁矢势

　　直观而言，磁矢势似乎不及磁场来得“自然”、“基本”，而在一般电磁学教科书亦多以磁场来定义磁矢势。以前，很多学者认为磁矢势并没有实际意义，只是人为的物理量，除了方便计算以外，别无其它用途。但是，詹姆斯·麦克斯韦颇不以为然，他认为磁矢势可以诠释为“每单位电荷储存的动量”，就好像电势被诠释为“每单位电荷储存的能量”。相关论述，稍后会有更详尽解释。

　　磁矢势的数值是相对的，相对于某设定数值。因此，学者会疑问到底储存了多少动量？不论如何，磁矢势确实具有实际意义。尤其是在量子力学里，于1959年，阿哈诺夫－波姆效应阐明，假设一个带电粒子移动经过某零电场、零磁场、非零磁矢势场区域，则此带电粒子的波函数相位会有所改变，因而导致可观测到的干涉现象 。越来越多学者认为电势和磁矢势比电场和磁场更基本。不单如此，有学者认为，甚至在经典电磁学里，磁矢势也具有明确的意义和直接的测量值。

　　磁矢势与电势可以共同用来设定电场与磁场。许多电磁学的方程可以以电场与磁场写出，或者以磁矢势与电势写出。较高深的理论，像量子力学理论，偏好使用的是磁矢势与电势，而不是电场与磁场。因为，在这些学术领域里所使用的拉格朗日量或哈密顿量，都是以磁矢势与电势表达，而不是以电场与磁场表达。

　　求解三维准静态矢量磁位的快速多极方法

　　近年来 ,快速多极方法(FMM)算法越来越多地应用于电磁场数值计算的各个领域 ,与传统的算法比较, 应用 FMM 算法来求解大尺寸电磁散射问题 ,可大大降低内存需要, 计算速度显著提高。FMM算法与边界元和有限元方法相结合, 来求解大型涡流场问题也取得了很好的计算效果。由于 FMM算法很适合于进行并行计算 ,采用并行 FMM 算法可以求解上百万个未知数的大型矩阵向量乘法运算。 大量的数值计算试验已经证明了 FMM 算法是一种非常有效的数值加速算法。

　　在集成电路互连线的分析与设计过程中, 需要计算互连线在空间中某些区域内的电磁场分布 , 在这种情况下,应用有限元方法求解电磁场问题需要对整个场域进行剖分。 由于集成电路互连线分布结构复杂,为获得较高的精度需要加密对场域或边界的剖分,这样计算机的内存占用和计算时间会急剧增加.。首先根据计算精度的要求把连续分布的场源进行离散化处理 ,然后通过静电类比分析,将求解三维准静态矢量磁位的问题转化为多体问题 ,进而利用快速多极方法来计算。该算法只需要对场源和需要计算的场域进行剖分, 大大降低了对计算机内存的要求, 提高了计算速度。通过对积分方程的离散和静电类比分析 ,推导出了应用多极加速方法计算磁矢位的公式 , 最后通过算例证明了算法的正确性和有效性。

　　积分方程的离散

　　根据电磁场数值分析理论 ,在研究连续分布的量的作用时,可以把它近似看成离散分布的量 ,考察其单个离散元的作用 ,如果问题是线性的,那么通过叠加的办法就能求得整体的效果。 对于各向同性媒质中的载流导体 ,电流密度矢量为 ,在无限大空间中产生的磁矢位为

　　根据计算精度的要求 ,首先将导体剖分为 N个小体积单元,可以近似认为每个小体积单元内的电流密度为恒定, 经过这样的离散化 ,得到

　　在直角坐标系下 ,把电流密度矢量 分解为 3 个方向上的分量

　　那么

　　式中 : 、 、 表示剖分单元i的电流密度 在x、y、z方向上的分量。矢量磁位 由三个方向的分量合成

　　静电模拟

　　设空间中体积单元 处分布着体电荷密度为 的静止电荷 ,在空间中 P点处产生的电位

　　因为体积单元 很小, 从而体积单元内的电荷密度 可近似为恒定。 根据 FMM 算法中多极展开的思想,当计算远场区域的电位时,我们可以进一步用体积单元内均匀分布的 M 个等量静止电荷来近似电荷的体分布

　　M个静止电荷带电量相等，其电量为

　　比较（4）、（6）和（7）可以得到

　　式中: 表示剖分单元i 的体积.。由式(9)可见 ,经过积分方程离散和静电模拟分析, 我们已经把求解载流导体在无限大空间中产生的磁矢位的问题转化为多体问题, 这样经过 3 次运用 FMM 算法, 分别求出 、 和 , 应用式(5)最后合成磁矢位 。

　　示例计算

　　例 1:如图 1 所示 ,求载流导体 A 在其自身所在空间区域和导体 B 所在的空间区域的矢量磁位。载流导体 A 电流分布均匀, 电流密度就为 =0.0001A/μm²。

　　首先对载流导体 A 和 B 进行剖分,取剖分单元为立方体,分别采取 3 种不同的剖分密度计算, 即分别取体积单元的边长 =0.5μm , =0.25 μm, =0.125 μm ,取每个体积单元的等效静止电荷数M =8。应用 FMM 算法求解时 ,剖分场域层数为 5,多极展开截止级数项 p=12。

　　分别采取不同剖分密度计算导体 A 、B 所在空间区域中部分场点的矢量磁位, 计算结果见表 1、表

　　2。表中 、 和 分别表示 3 种不同剖分密度下应用多极算法计算的矢量磁位。 为利用两点之

　　间的距离公式直接计算的结果, 其剖分密度为 a =0.025 μm ,将 作为准精确值与多极算法的计算

　　结果进行比较。

　　表1的计算结果表明 ,随着剖分密度增加 ,电流密度均匀的载流导体 A 在其自身所在空间区域的矢量磁位的计算结果快速收敛于,当取剖分体积单元的边长等于 0.125 倍导体 A 的最小特征尺寸时 ,采用 FMM 方法计算的矢量磁位与直接解法的相对误差为 0. 000 025。表 2 的计算结果表明 , 应用FMM 方法计算电流密度均匀的载流导体A 在 B处的矢量磁位具有更快的收敛速度。当取剖分体积单元的边长等于 0.5 倍导体 A 的最小特征尺寸时，

　　FMM 计算结果与的相对误差为。

　　例 2:如图 1 所示 ,求载流导体 A 在其自身所在空间区域和导体 B 所在的空间区域的矢量磁位。载流导体 A 的电流密度为，为导体表面的电流密度,透入深度,d 为与导体边界的最小垂直距离。在本算例中 , 设 ==0.0001A /μm²，δ=0.2 μm。首先对载流导体 A 和 B 进行剖分,每个体积单元的电流密度为=，为体积单元的几何中心点与导体 A 边界的最小垂直距离。取剖分单元为立方体 ,分别采取 3 种不同的剖分密度计算, 即分别取体积单元的边长=δ, =0. 5δ,=0.25δ, 取每个体积单元的等效静止电荷数 M =8。应用 FMM 算法求解时, 剖分场域层数为 5, 多极展开级数项 p =12。导体 A 、B 所在空间区域中部分场点的矢量磁位计算结果见表 3、表 4。

　　　 表 3 的计算结果表明, 随着剖分密度增加, 电流密度不均匀的载流导体 A 在其自身所在空间区域的矢量磁位的计算结果快速收敛于, 当取剖分体积单元的边长等于 0.25 倍透入深度时, 采用FMM 方法计算的矢量磁位与 的相对误差为0. 005。从表 4 的计算结果可以看出 , 应用 FMM 方法计算电流密度不均匀的载流导体 A 在 B 处的矢量磁位具有更快的收敛速度 ,当取剖分体积单元的边长等于 0.25 倍透入深度时, FMM 计算结果与的相对误差为 0. 000 7。

　　以上两个例子可以证明, 经过积分方程离散和模拟分析, 应用 FMM 算法可正确地计算三维空间载流导体的矢量磁位, 计算误差可通过剖分密度进行控制。由多极算法的加速理论可知，当计算的粒子数很大时 ,该算法的加速性能将会得到很好的体现。

　　结论与下一步工作

　　通过积分方程离散和静电类比分析, 将求解准静态电磁场矢量磁位的问题转化为多体问题 ,利用 FMM 算法进行求解。提出的方法扩展了FMM 算法在准静态电磁场矢量磁位数值计算领域中的应用 ,下一步的工作将该算法用于片上互连线电感参数的计算 , 为快速提取互连线寄生参数寻找快速可行的算法。1

　　本词条内容贡献者为:

　　张磊 - 副教授 - 西南大学