绝对值不等式

　　在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

　　公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|

　　性质

　　|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

　　两个重要性质：

　　1、|ab| = |a||b|

　　|a/b| = |a|/|b| （b≠0）1

　　2、|a||a|

　　||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|，当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立。

　　另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|

　　| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|1

　　几何意义

　　1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 2

　　2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)2

　　相关公式

　　绝对值重要不等式推导过程3：

　　我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x |a|-|b|≤|a+b|.......⑥

　　|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a| => |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

　　|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| => |a|-|b|≤|a-b|.......⑧

　　|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a| => |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

　　由⑥，⑦得：

　　| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

　　由⑧，⑨得：

　　| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪

　　综合④⑤⑩⑪得到有关 绝对值(absolute value)的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

　　要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

　　|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

　　|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

　　|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

　　注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0

　　同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

　　另 “→”指可双向推出

　　解法

　　解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。

　　以下，具体说说绝对值不等式的解法：

　　其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！

　　其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x