正实控制

　　所谓正实控制问题是指对于一个给定的对象，构造内稳控制器使闭环系统扩展严格正实，这样的控制器称为正实控制器。

　　综合内稳且闭环传递函数正实的问题称为正实控制问题。

　　研究意义

　　正实性是系统控制研究的重要概念之一，自产生以来，就在稳定性研究与系统理论领域起着重要作用，它已广泛应用于鲁棒性分析、自适应控制和非线性系统的绝对稳定和超稳定等方面。控制系统的鲁棒性问题一直是当今控制理论研究的热点之一，比较起来，鲁棒稳定性的研究比性能鲁棒性的研究要多、要深入。实际系统不仅要求鲁棒稳定，还要求系统具有一定的鲁棒性能。如何研究系统的鲁棒性能问题也是当今控制理论需要迫切解决的问题。正实性在系统和控制理论中的有关稳定性分析，超稳定性，自适应控制，二次性最优与代数黎卡提方程以及系统的稳定实现等方面都有很重要的意义。所以，研究正实控制具有重要意义。

　　发展

　　综合内稳且闭环传递函数正实的问题称为正实控制问题。对于正实控制问题的研究有大量的相关文章，正实控制问题的解可通过解黎卡提方程或不等式得到。讨论状态反馈和输出反馈实现闭环系统的正实性问题，给出了正实控制问题的可解条件和基于解黎卡提方程或不等式构造控制器的方法。对状态矩阵和输入矩阵带有不确定性的系统讨论了鲁棒正实控制问题，给出了动态输出反馈的闭环系统鲁棒稳定且严格正实的条件，证明了鲁棒控制问题可转化为确定系统的正实条件。解决了线性中立时滞系统的H∞控制和正实控制问题，并发展了相应的控制器的设计方案。

　　基于观测器的正实控制即设计一个基于观测器的控制器，使得闭合回路系统是内稳且正实的。对不确定连续系统考虑了基于观测器的正实控制问题。给出了基于观测器的动态输出反馈控制器的存在条件和求法。研究了基于观测器的线性中立时滞系统的H∞控制，给出了控制器存在的充分条件及相应设计方案。有的文献在原有的基础上进一步研究该系统在不确定性更具一般性时的基于观测器的正实性控制问题，此系统为一类线性不确定系统，该系统大量出现于经济管理、电子网络、机器人、工业生产过程、生物过程和航天航空以及航海技术等领域，具有广泛的实际背景。所以对这类系统进行正实控制，无论是对鲁棒稳定性理论的进一步完善还是对解决实际问题都起着重要作用。

　　正实性

　　正实性是系统控制研究的重要概念之一，自产生以来，就在稳定性研究与系统理论领域起着重要作用，它己广泛应用于鲁棒性分析、自适应控制和非线性系统的绝对稳定和超稳定等方面。控制系统的鲁棒性问题一直是当今控制理论研究的热点之一，比较起来，鲁棒稳定性的研究比性能鲁棒性的研究要多、要深入。实际系统不仅要求鲁棒稳定，还要求系统具有一定的鲁棒性能。正实性在系统和控制理论中的有关稳定性分析、超稳定性、自适应控制、二次性最优与Riccati方程以及系统的稳定实现等方面都有很重要的意义。

　　综合内稳定且闭环传递函数正实的问题称为正实控制问题。对于正实控制问题的研究有大量的相关文章，正实控制问题的解可通过解Riccati方程或不等式得到，状态控制和输出反馈实现闭环系统的正实性也得到了研究，并给出了正实控制问题的可解条件和基于Riccati方程或不等式构造控制器的方法。对状态矩阵和输入矩阵带有不确定性的系统讨论了鲁棒正实控制问题，给出了动态输出反馈的闭环系统鲁棒稳定且严格正实的条件，证明了鲁棒控制问题可化为确定系统的正实条件。解决了线性中立时滞系统的控制和正实控制问题，并发展了相应的控制器的设计方案。

　　正实性定义如下：

　　(1)系统G(s)称为正实的(PR)，如果G(s)在开右半平面解析，且

　　(2)系统G(s)称为严格正实的(SPR)，如果G(s)在闭右半平面解析，且

　　(3)系统G(s)称为扩展严格正实的(ESPR)，如果G(s)严格正实，且

　　正实控制

　　正实控制概念是从一类耗能电网中抽象出来的，是控制理论中的一个重要概念。众所周知，绝对稳定性和超稳定性都与正实性密切相关，绝对稳定性和超稳定性等价于某线性环节的正实性。正实性在自适应某些算法的收敛性分析中起着关键作用。自适应系统本质上是时变的和非线性的，正实性定理是分析自适应系统尤其是高阶系统稳定性的一个不可或缺的工具。另外，正实性在鲁棒控制、非线性系统设计中也发挥着越来越重要的作用。若一个系统由严格正实环节和具有无源性的不确定环节或非线性环节或反馈互联而成，则这个反馈系统是稳定的。这一事实为鲁棒控制和非线性控制提供了一条重要的途径。除此之外，正实性和界实性之间也存在紧密联系，它们之间可以互相转化。由于有界实引理是H∞控制的基础，正实性原理也为H∞控制提供了一种思路。综上所述，研究系统的正实性和正实控制具有重要意义。

　　在时域中研究正实控制的理论基础是正实引理，早期所用的方法是Riccati不等式或Riccati方程方法。很多文献在这方面做出了有代表性的工作，讨论了状态反馈和输出反馈实现闭环系统的正实问题，给出了正实控制问题的可解条件和基于Riccati不等式或Riccati方程构造控制器的方法。正实控制问题的Riccati方法可以给出控制器的结构，也便于理论分析。但具体实施时需要设计者预先确定一些特定参数，这些参数的选择不仅影响到结论的好坏，而且还会影响到问题的可解性。现有的Riccati方法中还缺乏寻找这些参数最佳值的方法。参数的这种人为确定方法给综合结果带来了很大的保守性。另外，Riccati型矩阵方程本身的求解还存在一定的问题。现今很多求解Riccati方程的方法采用多位迭代法，收敛性不能得到保证。上世纪末，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式受到控制界的关注并被应用到正实控制领域，正实控制问题的线性矩阵不等式方法就产生了。基于线性矩阵不等式的正实控制问题的求解方法在计算机上是简单可行的且它对系统的要求非常少。采用线性矩阵不等式处理方法解决正实控制问题，方法有两种。一种是消去法:首先将闭环系统参数矩阵表示成控制器参数矩阵的仿射形式，然后根据正实引理写出Lyapunov函数矩阵Xc，和控制器参数矩阵K的线性矩阵不等式，最后再解这个不等式，即先用双边投影定理消去K得到只含Xc的矩阵不等式，经过线性化处理求得Xc ，再将Xc，带回原不等式得到只含K的线性矩阵不等式，从而可以利用求解线性矩阵不等式的方法得到控制器参数矩阵K。二是变量替换法:使用变量替换法需要先写出闭环参数矩阵，根据正实引理写出线性矩阵不等式，然后引进一组新的矩阵变量将这个非线性矩阵不等式化为新变量之间的线性矩阵不等式，再解线性矩阵不等式得到这组新变量的值，最后根据新旧变量之间的关系求得原变量的值，直至求得控制器参数的值。

　　另一方面，由于对系统缺乏足够的了解，人们很难精确描述系统，有时系统本身比较复杂，人们也会根据需要简化。因此，模型误差是难免的。除了建模误差，环境变化、器件老化、某些物理参数漂移等因素也会导致模型的不确定性。这样在正实设计中一个不可回避的问题是如何设计控制器使得闭环系统对所有允许不确定性都是正实的，这就是鲁棒正实控制问题。另外由于时滞现象普遍存在，时滞系统经常在实际工程问题中出现，而时滞又常使系统失稳和性能恶化，时滞线性系统的H∞控制和正实控制问题十几年来一直是人们研究的热点。

　　所以针对上述问题，有的研究学者提出采用摄动参数多项式加范数有界摄动不确定模式，来描述进而研究实际系统的鲁棒正实性分析与正实控制器的设计问题。由于摄动参数可以是时变的，这种不确定性模式可反映实际系统的时变特征;而该不确定性模式中的范数有界摄动部分，可反映实际系统的不确定因素和被简化掉的非线性特征。从理论上看，这种不确定模式是传统参数不确定性模型的自然推广，它包含了现有的区间系统和范数有界摄动模型为其特例，这是对现有参数不确定模式的丰富和完善。1

　　本词条内容贡献者为:

　　冯丽萍 - 教授 - 太原师范学院计算机系