双假位法

　　双假位法是数学解题的一种方法。它实际上就是我国古代的盈不足术。这是我国古代劳动人民首创的解题方法。1957年钱宝琮先生曾建议恢复“双假位法”原来的名称，仍叫“盈不足术”，也正是基于此。

　　来历及发展

　　双假位法（亦称为盈不足术）是数学解题的一种方法。它是我国数学家首创的解题方法（出于《九章算术》）。1957年钱宝综琮先生曾建议恢复“双假位法”原来的名称，仍叫“盈不足术”。《九章算术》中将其称为“盈不足”问题。

　　《九章算术》的原编者提示了解法：“术日：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。”刘徽的注是：“按大器容五斗，大器五，容二斛五斗。以减三斛，余五斗，即小器一所容。故日小器亦五斗，小器五，容二斛五斗，大器一容五斗，合为三斛。课于两斛，乃多十斗。令之大器五斗五升，大器五，合容二斛七斗五升，以减三斛，余二斗五升，即小器一所容。故日小器二斗五升。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰不足二斗。以盈不足维乘之为实。并盈不足为法，除之。”2

　　是中国古代独立创造的解决数学问题的一种杰出的算法，大约在9世纪被传到了阿拉伯，13世纪意大利数学家把它介绍到欧洲，并广为传播。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，盈不足术被称作“中国算法”、“试位法”、“双设法”等等。它对世界数学的发展做出了贡献。

　　中国的盈不足术传到阿拉伯国家后，被称为“契丹算法”，就是中国算法的意思。1202年Fibonacci的算术书里，介绍这种算法时称它为elchataym，还是“契丹算法”的意思，又称它为regula augmenti et decrementi，这就是“盈和不足法则”的意思．由于用盈不足术解题时要通过两次假设，所以欧洲各国的算术书中后来都称为“假借法”(regula falsi，reghel der valsches positien，rule of false position)。16，17世纪时候，欧洲人的代数还没有发展到充分利用符号的阶段。中国盈不足术的算法便长期地盛行于欧洲大陆。

　　理论依据

　　假设试验与推理论证是人类探索自然、寻求规律的两种相辅相成的方法。每当实际中提出的新问题使现成的理论无能为力之时，人们便自然地求助于试验；而在对试验中出现的新现象无法解释时，则又转向理论中寻找出路。数学的理论并不排斥假设试验的方法，特别是在数学理论处在幼稚时期的古代，试验的方法相对地更为重要。盈不足术就是古代数学中假设试验与推理论证两种方法交互运用的产物。

　　历史意义

　　在古代，随着数学应用的日益广泛和数学问题的愈加复杂，寻求各类应用问题的普遍解法自然便成为古算理论研究的中心课题。盈不足术作为当时在这一方面的重大成就无疑会受到特别的珍视。在论及盈不足术的成就时，通常仅注意到这种方法应用的极端广泛性，它给出线性问题的精确解和非线性问题的近似解，在古代确实称得起“万能”的解题方法。

　　然而，盈不足术在数学的方法与思想方面给予古算的影响是不可低估的。以特定的数学模式代替各种数量关系的分析，这种思想与方法在我国古代数学中有着非常深远的影响，“方程”这一数学模型，便是这一思想发展的产物。而从盈不足术开始，由方程术所进一步发展的演算程序化，使我国古代筹算制度达到相当完善的水平。考察“九章"之“方程”，其立意造术与盈不足有许多相似之处，这表明它们有共同之本源。但以方程来解释盈不足术是不妥当的，因为无任何证据说明方程先于盈不足术而产生。

　　应用举例

　　现在你遇到下面这样的题时，用二元一次方程组的解法非常简单。

　　有几人买鸡，每个人拿9个钱，多余11个钱；每人拿6个钱，不足16个钱。问几人买鸡，鸡值多少钱?

　　设人数为x，鸡值为Y。

　　则y=9x－11 y=6x+16 解方程组得：x=9 y=70

　　而在2000多年前的《九章算术》中，就有此类应用题，古人称其为“盈不足”问题。计算这样的问题，古人创造了独特新颖的解题法——盈不足术。历代数学家对“盈不足术”十分重视。甚至有些政治家还用它来考核官吏。

　　唐宣宗大中年间，杨损在朝作尚书。杨损知识渊博，为政清廉。在选拔官吏时也以公正著称。一次，有两位小官吏，需要提拔一个。但比较二人的政绩、资历、职位等都差不多，主考官大伤脑筋，便前来请教杨损。杨损说：“我给他们出道题，看谁算得准、算得快。”

　　不久两人来到杨损的书房，杨损的题目是：有人黄昏去散步，无意听见盗贼在分赃布匹。他们说，如果每人分6匹，会余下5匹布；如每人分7匹，却又差了8匹布。现在问，几个盗贼多少匹布?

　　杨损出完题接着说：“你们谁先算出来，谁就会被提拔。”

　　两位候选人听完题，马上用算筹算起来。结果，那位先交卷的官吏被选中。

　　同僚知道后，无不称赞杨损的好主意。那这位候选人，是如何计算的呢？他用的就是“盈不足术”。

　　从以上我们讲的两个题例可以看出，双假位法与我国古代的盈不足术是一致的。只不过我国古代时还没有设x,y的说法，因为当时还没有西文字母。我国古代创造的解题方法一直延用至今，充分表明了我国劳动人民的聪明才智，在世界科技史上，也留下了光辉的一页。

　　本词条内容贡献者为:

　　刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所