引力弯曲光线的那些事儿

　　引力偏折光线缘起牛顿研究光学而来的疑问，然后引力偏折光线的偏折角就被德国人索尔德纳当个重物的引力散射经典问题给计算了。后来，德国人爱因斯坦从1911年经1915年用不同成熟度的广义相对论一路计算到了1936年最终提出了引力透镜的概念。 1919年英国人爱丁顿的日蚀照片宣称精确测量了光经过太阳附近的偏折角从而“验证”了广义相对论，一举将爱因斯坦送上了神坛。1979年，实在架不住人们对爱丁顿处理照片数据的强烈质疑，英国组织了对爱丁顿照片数据的再处理，结论是“爱丁顿的结果是合理的”。通过计算照片“验证”广义相对论的说法，此乃为其滥觞。

　　撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所）

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　　光线的直与弯

　　光走直线，这是几何光学的基本出发点。雨后云边直射的阳光给我们以光线（射线、直线）的印象。然而，光线又是可以弯折的。观察水中直立的芦苇和游动的鱼儿，容易得出光线在水面处弯折（refraction，中文译为折射）的结论。光的反射和折射是自然现象，其规律早已为人们所掌握。光在水面处弯折，那是因为两边的空气和水是两种不同的物质。不同物质弯折光线的能力由其折射率所表征。倘若光线经过的空间中折射率连续变化，光线就会被连续弯折，或者说是沿着一条光滑曲线传播。光线沿直线传播的观念，在人类还无意识的时候就已经嵌入到我们的视觉诠释体系中了。不管光线经过怎样的波折到达我们的眼底，我们一概按照光沿直线的规律去构造那个可能的光源。水底的鱼儿反射的光，经过水面折射后进入我们的眼睛，我们会按照光沿直线传播的规律搜寻作为光源的那条水底的鱼儿。在鱼叉无数次错过了目标后，人们总结出了水里的鱼儿在我们看到的位置前下方的结论（图1）—是光沿直线传播后进入我们眼睛的这种浅薄认识误导了我们的视觉判断。沙漠中容易遇到海市蜃楼，那是因为地表空气密度连续、大范围地变化，是远处的风景（光）经扭曲后进入我们的眼睛而我们的大脑又固执地认为看到的光线都有单纯的直线传播历史才造成了这样的幻象。

　　光可以被物质偏转，说到底是被电磁场偏转。这不奇怪。光本身是电磁现象，是电磁相互作用的传递者（carrier）。那引力呢？引力也能偏转光线吗？

　　图1. 因为光的折射，我们看到的水中的鱼儿应该在我们以为的那地方的前下方

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　　牛顿的疑问

　　牛顿研究光学，发现了阳光的光谱，还有牛顿环。 牛顿在1704年出版的Opticks（《光学》）一书中列举了自己的一些疑问，其第一条就是Do not bodies act upon light at a distance, and by their action bend its rays; and is not this action（caeteris paribus）strongest at the least distance（物体不作用于远处的光并因此弯折光线吗？这作用不是距离最近的地方最强吗）? 牛顿既研究引力，又研究光学。力学中物体的轨道是可以被外力弯曲的，光线在介质中也能被弯折，所以牛顿问这个问题一点儿也不奇怪。

　　物体能否凭引力弯折远处的光线，在牛顿就是个疑问，出现在其著作的queries中，在别人那里可就当成真事儿了。1784年英国人卡文迪许（Henry Cavendish, 1731-1810）， 1801年德国人索尔德纳（Johann Georg von Soldner 1776-1833），都认定牛顿引力论预言了经过一个大质量天体附近的星光会被弯曲——牛顿好冤枉啊。索尔德纳的计算于1804年发表并流传至今。 1911年爱因斯坦基于等价原理计算出了和索尔德纳同样的结果。但是，在构造广义相对论的过程中，爱因斯坦于1915年认识到从前的计算结果只得到了偏转角的一半，于是又作了修正，爱因斯坦因此成为了第一个得到引力弯曲光线正确计算的人。1919年，英国人爱丁顿（Arthur Stanley Eddington, 1882-1944） 领导的探险队拍摄日全食时刻的星空照片，据说验证了引力偏折的爱因斯坦理论的正确性。这大体就是引力弯曲光线现象被提出和对待的历史简述。

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　　光线偏折的计算

　　索尔德纳的计算结果表明，远处来的星光经一个表面处加速度为 g 的星球所造成的偏折角由公式 给出，其中 v 是光在星球表面的速度。 注意，那时候c还不是光速的专用符号，也没有光速不变的理念。先不谈这个公式对不对，我们首先要问的是星球的重力凭什么能让光线偏折？索尔德纳很不好意思地承认 “I treat a light ray almost as a ponderable body （我拿光当重物对待了）. ” 他接着说 “That light rays possess all absolute properties of matter, can be seen at the phenomenon of aberration, which is only possible when light rays are really material. And furthermore, we cannot think of things that exist and act on our senses, without having the properties of matter（光具有物质的所有绝对性质这一点，可以从光行差现象看出，这只有光是物质性的才有可能。再说了，我们也想象不出任何事物能存在还作用于我们的感觉却没有物质的性质）.” 这个，这个，这么论证就有点撒泼了。不过，索尔德纳接着说，由这个公式估算，地球甚至太阳造成的光的偏折角都太小，无法观察。他又接着论证尽管观察不到，他的计算也是有益的，因为对能观察到和观察不到之影响的认识都同样扩展我们的知识。 读到这句话时，我总想起中国人算卦的一个标准套路——两头堵，怎么说他都有理。

　　只要我们认可引力可以偏折光线，偏折角有个简单的基于量纲分析的推导，而不必管具体的物理机制或理论。笔者的思路如下。偏折角是个无量纲量。就引力偏折光路这个问题来说，光的唯一性质就是速度 c，而物体的引力强度由 Gm 来表征，其中 G 是万有引力常数，m 是质量。此外，决定弯折多少的另一个量是光线靠物体有多近，即还要考虑一个特征距离 R。这个特征距离就是散射问题中的瞄准距，当光线从星体表面掠过时，瞄准距近似就是星体的半径。Gm，c 和 R 可组成一个恰当的无量纲量 　　。这样，可得偏折角的公式 　　，f 是一个形式未知的函数。函数 f 必是一个关于变量的正相关函数， 越大，它应该越大。其次，有类似边界条件 　，意思是无引力就无偏折。对于很小的偏折，近似地有 　。现在只剩下一个需要确定的比例系数 α 了。可以看到，前述索尔德纳假设光是重物的计算，得到的结果对应 α=2 。

　　对引力偏折光线的相对论计算，爱因斯坦 1911年是基于等价原理的计算，即基于均匀引力场和加速度等价的观念进行的计算（图2），结果与索尔德纳同。这篇文章爱因斯坦承认是因为对自己四年前关于这个问题的文章 （见Jahrbuch für Radioaktivität und Elektronik, 4, 1907）不满意才旧话重提的。后来，等广义相对论构造出来，爱因斯坦又基于广义相对论重新计算，结果是在原来的结果上加上一个2倍的修正因子。爱因斯坦1936年又关于此问题发表了一篇正式文章， 其中就有引力透镜的概念了。

　　图2. 爱因斯坦1912年4月左右记录其关于引力弯曲光线计算的笔记，收录于爱因斯坦文集第3卷585页。

　　爱因斯坦1911年的文章假设在加速参考框架内和一个具有均匀引力场的参考框架内，物理过程是一样的。引力场中光的速度是位置的函数， 则光的波，根据惠更斯原理（敲黑板，划重点，爱因斯坦这里是作光学计算），会发生偏折。爱因斯坦由此导出结果为 　，其中 Φ 是引力势。这个结果与近似后的索尔德纳结果完全相同。由此计算的太阳对远处恒星光线的偏折是 0".83 （爱因斯坦原文）。

　　关于基于广义相对论的偏折角计算，爱丁顿爵士在其《相对论的数学原理》第41节有个简洁的表述。计算的出发点是光的性质　，引力偏折光线此时有了略显正当的理由：“质量弯曲了时空，而光线是时空中的零测地线。”在球形的静止质量体附近，光的轨道方程为　，由此得到偏角。关于这个问题，还有其它版本的计算（Carroll）。假设物体的引力场是弱场，引力势由泊松方程给出 。该引力势引起时空的微小扰动，有距离公式 。 研究光线偏折要解该空间中的测地线方程，一番近似后得到偏转角为 　　，其中　是与路径垂直的方向上的引力势梯度投影。 记瞄准距为 R，有 ， 即 。对于太阳来说，Gm/c2=1.47 km， R=697000 km，所以偏角约为 1".75。

　　如你所见，引力偏折光线所用的理论基础是朝秦暮楚的，（近似）计算过程是颠三倒四的。但是，不管这系数是基于什么样的考量得到的，由简单的量纲分析分析得来的 　这样的简单物理却永远是对的。

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　　光线偏折的观测

　　爱丁顿爵士是相对论的拥趸。据说，1919年11月6日当Ludwik Silberstein，一个自认也是相对论专家的人，问他是不是说过他是世界上真正懂得相对论的三人之一时，爱丁顿犹犹豫豫不肯回答。Ludwik Silberstein坚持让爱丁顿回答这个问题，并催促他不必“so shy”嘛， 爱丁顿回答道： “Oh, no! I was wondering who the third one might be （呃，我不是不好意思。我就是在想那第三个会是谁啊）!” 爱丁顿自认懂得相对论是有证据的，其《相对论的数学理论》一书第一版出现在1923年，《关于引力相对论的报告》出版于1918年，仅在广义相对论面世两年之后。爱丁顿这样懂相对论的宇宙学家以后不易见到了。

　　爱丁顿为了验证光线偏折的理论，参与组织了到非洲西海岸观测1919年5月29日日全食的探险，并拍摄了大量太阳附近天区的照片（图3）。爱丁顿爵士处理了照片得到的结果， 在其《相对论的数学理论》一书第41节，爱丁顿写道根据广义相对论计算太阳附近光的偏折应为 1"75 ，而1919年英国两支探险队得到的结果分别为　　和　。呵呵，理论和实验 fit very well （符合得很好）的感觉有没有啊？一时间，英国人民，还有欧洲大陆和美洲大陆的人们，都在欢呼爱因斯坦广义相对论的伟大胜利，介绍相对论的文章铺天盖地。

　　图3. 爱丁顿爵士获得的1919年日全食的照片之一

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　　光线真的会弯曲吗？

　　所谓引力场弯折光线的说法可能也过时了，它反映的是陈旧的概念体系。对于光线偏折的问题，我们还可以有另一种看法，就是重新审视"什么是直的”的这个重大问题。笔者以为，正确的观念是光线永不弯曲，光走的路径才是直线。就算按照经典力学的理解，光线走光程为极值（按说该是最短）的路径，这就是直线的定义（图4）！如果我们接受费马定理以及物理空间遵循黎曼几何这样的观念，我们就应该习惯光走的路径才是直线的观念。以笔者的理解，非极性标量的最小值是0。光程就是非极性标量，取最小值意味着 　，这就是时空中直线的定义。笔者甚至认为应该进一步地理解为，光的世界是平直的时空。

　　图4. 光路永不弯折，只是在非均匀空间中的光路给了你光路弯折的误解

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　　多余的话

　　引力场偏折光线的验证，首重的是光线到底是否被重力偏折了。只要这偏折足够大，且能够排除其它因素（远处恒星的光在路上遭遇了什么，不是容易弄清楚的），就足够了。至于 中的比例因子α 是2还是4倒在其次了。这就像海王星的发现，验证了基于经典力学对天王星不规则轨道的诠释，至于预言的海王星的质量及其轨道有多么（不）精确，那有什么打紧。至于说到测量结果接近 α=4 时的计算值是验证了爱因斯坦引力理论对牛顿引力理论的胜利，持这种观点的人显然是太多情了些，爱因斯坦1911年基于相对论等价原理的结果（尽管不是基于1915年成型的广义相对论），那里也是 α=2 ，与牛顿力学何干？再说了，广义相对论场方程是非线性方程，偏折角的公式是近似计算而来的结果，测量数值符合得 very well 就有点儿令人起疑了。至于爱丁顿给出的1919年测量值，一直以来饱受争议。据说因为争议太大，1979年英国又组织人重新分析数据，结论是爱丁顿的数据处理是合理的。对此，我的评论是 “没有评论”。1919年的实验条件，类似图3那样质量的照片，要是测量准了那才叫见鬼呢！

　　有评论认为，“The measurements are difficult, and the results were not accurate enough to decide which theory was right（测量很难，结果也不够准确到能判断哪个理论是对的）”，这是中肯之论。但是，1919年是第一次世界大战后的第一年，英国的科学家竟然去验证德国科学家的理论（Soldner和Einstein都是德国佬）， 这是多么啊那个什么的事情啊。观测精确验证了理论，是多么值得欢呼啊！

　　据说爱因斯坦的理论后来被射电天文学给证实了。 有人又提出了这样的疑问：“如果望远镜的精度是由决定的，为啥射电望远镜会比光学望远镜能更精确地测定光线的偏折呢，两者的波长可是差七八个数量级的啊？ 关于这个问题，笔者没花时间研究过，或许有专业的解释吧。

　　我从来不怀疑物理学家的人品，我怀疑物理学和大自然！

　　本文改编自曹则贤著《惊艳一击-数理史上的绝妙证明》（外语教学与研究出版社，2019）。

　　建议阅读

　　1. Johann Georg von Soldner, Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung （论光自直线运动的偏折）, Berliner Astronomisches Jahrbuch, 161-172 （1804） .

　　2. Albert Einstein, Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitimg des Lichtes," Annalen der Physik 35, 898-908（1911）.

　　3. Albert Einstein, Lense-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field, Science 84, 506-507（1936）.

　　4. Arthur Stanley Eddington, The mathematical theory of relativity, Cambridge University Press （1923）.

　　5. Sean Carroll, Space time and geometry, Addison Wesley （2004）.

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