在漫威系列片中有一个叫做《奇异博士（Doctor Strange）》（2016）的单元，这个单元主要讲了一名优秀的外科医生——史蒂芬·斯特兰奇（Stephen Strange）在手受伤后经历的种种。其中就有这样一幕，当主角史蒂芬·斯特兰奇被古一法师一掌推入五彩斑斓、变幻莫测的多元宇宙后，他惊恐地发现自己手指头上不断长出更多的手。无论是影片中多元宇宙的动画效果还是手上加手的猎奇想象，都与分形有关。

　　分形是什么

　　分形（fractal，源自拉丁语：frāctus，有“零碎”、“破裂”之意），又称碎形、残形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。

　　古典数学研究的对象都是平滑完整的，而大自然中的大部分图案和物体都是粗糙的、不规则的。这就意味着：植物，云彩，山峰……这些在自然中常见的事物会被排除在古典数学之外。直到1975年本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）提出了“分形”的概念后，数学研究的对象才得以改变。

　　分形几何使人们以新的视角来看待自然界的种种形态，探索混乱的表面之下隐藏的秩序。因此，分形几何又被叫做“描述大自然的几何学”。1980年，曼德博创造了自己的公式——Zn+1=(Zn)^2+C，并在计算机上绘出。这个图像成为了分形几何的标志，就是曼德博罗集（Mandelbrot set）。

　　从山脉到外星丛林

　　分形的出现，对当时的计算机图形学产生了深远的影响。面对自然景物中的非规整形状的绘制，传统图像学显得束手无策，而分形几何学的出现为计算机图形学提供了一个新的可能。

　　1978年，在西雅图波音飞机公司任职的年轻计算机专家洛伦·卡彭特（Loren Carpenter）在阅读了曼德博的《分形学：形态，概率和维度（Fractals: Form、Chance and Dimension）》之后，开始尝试创造分形算法在计算机上绘制更加逼真的山脉。

　　他把山脉分成几个大三角形，然后把每个大三角形分成四个小三角形，再对每个小三角形重复操作，不断迭代。最终，山脉粗糙的表面就成功的在计算机上显示出来了。这可以说是一次伟大的尝试，分形首次进入计算机图形学，也让其他计算机绘图专家们兴奋不已。

　　1980年，基于之前的分形算法，卡彭特制作了一部展现分形渲染逼真山脉的2分钟电影，并取名“自由飞行（Vol Libre）” 。这是分形在计算机生成图像 (CGI)电影中的首次应用。之后，他被邀请到卢卡斯的计算机部门（后来成为皮克斯）工作。

　　因此可以说皮克斯这个由汽车、怪物和玩具组成的动画电影帝国是建立在分形的力量上的。时至今日，皮克斯仍在使用分形。从《玩具总动员（Toy Story）》（1995）中的树丛林木到《海底总动员（Finding Nemo）》（2003）中的珊瑚海藻、从《飞屋环游记（Up）（2009）中的瀑布岩石到《夏日友晴天（Luca）》（2021）中的海滨小岛，都有着分形的存在。

　　除动画电影之外，分形也被广泛应用在科幻电影中。1982年《星际旅行2：可汗怒吼（Star Trek II: The Wrath of Khan）》采用分形几何算法用计算机绘制了粗糙不规则的月球地表。遗憾的是，这一技术在电影中的应用只是昙花一现，一直到九十年代计算机技术成熟后才被大量应用于电影(即上文提到的玩具总动员时期)。

　　之后，《指环王（The Lord of the Rings）》三部曲（2001-2003）在不同的景观构建中也都应用了分形算法。在《指环王：护戒使者（The Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring）》（2001）的开篇中，黑暗魔君索伦暗地里铸造了可以奴役世界的至尊魔戒，各种族为了抵抗索伦的侵犯开始了反抗，战争的背景即为分形算法的杰作。石洞里的咕噜（Gollum）爱惜地捧着捡来的魔戒，这里的石洞同样也应用了分形算法。

　　第三部《指环王：国王归来（The Lord of the Rings: The Return of the King）》（2003）的自然刚性景物建模中亦有展现。影片中，可以行走甚至说话的树人、山川砂石以及爆炸破裂的碎石都通过分形算法绘图进行呈现。

　　《阿凡达（Avatar）》（2009）中的潘多拉星球中外星丛林、灵魂之树的绘制与生成也是分形算法的成果，可以称得上是分形算法绘图的巅峰之作。

　　想象中的高维空间

　　可以看到上文提出的不管是动画电影还是科幻电影，分形算法主要用于自然刚性景观的绘制，其实分形也可以用于高维空间的构建。其中主要用到的是三维分形结构：曼德尔球（Mandelbulb）——即在三维空间展开的曼德博集。

　　本文开头提到的《奇异博士》中多元宇宙就是应用的曼德尔球结构。除此之外，《超能陆战队（Big Hero 6）》（2014）的虫洞以及《湮灭（Annihilation）》（2018）的x区域中也有此结构的体现。

　　当然，在电影中崭露头角的三维分形结构不止曼德尔球，在电影《银河护卫队2（Guardians of the Galaxy Vol. 2）》（2017）中，星爵的父亲原来是一个天体，当他进入父亲（ego行星）的内核，看到了一个诡异的岩石世界：无数布满空洞的柱子穿梭在空间中，——这是三维化的朱利亚集合（Julia set），一个在复平面上形成分形的点的集合。分形使这些空间变得愈发奇妙。

　　分形和动态景观效果

　　我们不难发现，上文提到的不管是自然景观还是高维空间，都是刚体景观（静态景观）的数字化绘制。但动态景观也是电影中非常重要而又普遍的组成部分，无论是浮动的云、流动的水还是纷纷的雪花，都使电影画面更加丰富，更加生动。为了满足这类非刚体景物的模拟绘制需求，粒子系统理论应运而生。

　　粒子系统理论将模拟对象抽象化表示为一组具有生命特性的粒子组合体。每时每刻，任意一个粒子的状态都随着时间的推进发生变化，依次步入出生、生长、死亡的阶段，这一系列过程能够真实地体现模拟对象的动态生成。在时空维度上，运动的粒子具有分形维度，分形运动特性和形态在某些粒子系统中体现的十分典型。因此，粒子系统的根源其实还是分形。

　　之前提到的《指环王》系列中的第二部《指环王：双塔奇兵（The Lord of the Rings: The Two Towers）（2002）中炎魔怪周身的火焰和手中的火鞭都是基于粒子系统的理论生成的。

　　2005年，《星战前传3：西斯的复仇（Star Wars: Episode III - Revenge of the Sith）》中的关键一幕——熔岩溅落在机械臂上。这里的具体做法是用三维模型建立发射点喷射，再对其添加分形旋动，然后用同样的旋转模式缩小再次使用，经过不同发射点的层层重叠，大团的火山熔岩流喷射而出并且四散开来，效果十分炫目。

　　分形早已和电影艺术紧密相连，为电影画面创造了无限精彩，也赋予了电影创作无限潜能；与此同时对电影视觉艺术的更高需求也推动着人们进一步对分形算法的研究。

　　Reference:

　　https://dcdoolan.wordpress.com/2017/01/23/examples-of-graphics-animation-and-fractals-in-film/

　　https://www.historyofinformation.com/detail.php?id=3239

　　http://www.digicologies.com/2021/04/08/ben-platt/

　　https://www.fxguide.com/fxfeatured/the-fractal-nature-of-guardians-of-the-galaxy-vol-2/

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

　　https://www.youtube.com/watch?v=b0Hz_e2D-1U&t=6s（BBC Fractal geometry in nature and digital animation | Maths - The Code）

　　https://www.zhihu.com/question/58004044/answer/751060039

　　https://zhuanlan.zhihu.com/p/23644183

　　【PBS】 寻找隐秘的维度Hunting The Hidden Dimension (2008)

　　李娟娟. 动态景象粒子系统自动生成技术的研究与实现[D].北京工业大学,2014.

　　许乐.论分形在3D动画中的应用[J].当代动画,2018(02):106-111.