[科普中国]-简单的分糖问题

有一天，老师拿出一罐糖果，小朋友们每人都可以从中随机抓取偶数个糖果。老师让小朋友们数清楚自己手里的糖果数量，然后让他们按照从少到多的顺序围坐成一圈。接下来，老师宣布游戏规则：首先，每个人都将自己手中一半的糖果分给右邻的小朋友；分完之后，手中糖果数量为奇数的小朋友需要从老师那里再拿一颗糖果变成偶数，以此反复。那么按照这种规则进行之后，小朋友们手中糖果的数量将会变成一样的，这是为什么呢？

我们可以假设小朋友们最开始手中的糖果数量最少为2n个，最多为2m个，某位小朋友有2b个糖果，他的左邻有2a个，右邻有2c个，且n≤a≤m，n≤b≤m，n≤c≤m。

因为做完一轮分糖果的小游戏之后，这位小朋友手中的糖果将会变为a+b个，如果a+b为偶数，将开始下一轮分糖，如果a+b为奇数，糖果数量将会变成a+b+1。如果这位小朋友之前的糖果数量为2n个，也就是拥有糖果数最少，那么他在游戏结束后将会至少拥有2n+2个糖果；如果这位小朋友在游戏前拥有最多的糖果数量2m，那么在调整过程中他拥有的糖果数量最多为2m，其他小朋友如果在交换过程中得到了更多的糖果，所拥有的最大值依然不超过2m；如果这位小朋友之前拥有的糖果数量在n与m个之间，由于n≤a≤m且n≤b≤m，2n≤a+b≤2m，再加上拥有最多糖果数量2m个的小朋友也会从他的左邻那里得到新的但是数量小于m的糖果，也就是经过调整之后，m的值不会变大，因此调整之后2n≤a+b+1≤2m。

总结上文的思路可以得出，经过几轮调整游戏之后，小朋友们拥有的总糖果数量可能会变多；拥有最少糖果数量2n个的小朋友会得到新的糖果，也就是小朋友们拥有糖果数量的最小值会变大并且调整之后也不会出现更少的糖果数量；拥有最多糖果数量的小朋友却不会一直有着最多的糖果数，可能在糖果数量一致前的游戏过程中，会有其他的小朋友掌握新的最大糖果数量，并且原来最大的糖果数量值也不会变大，甚至可能会变少。

由于调整数量的过程中糖的最大值不会更大，最小值在不断变大，也就是说每位小朋友拥有的糖果数量的差距随着游戏的进行会慢慢减小，再加上糖果的数量有限，因此，经过有限次的调整游戏之后，最小值与最大值将慢慢接近直至相等，最后所有的小朋友都会拥有数量相等的糖果。

分糖问题是糖果分享问题的简称，是一种简单的组合数学的应用，也是离散动力系统的一个例子。在分糖开始时，每个小朋友的糖果数量是随机的，但是在分糖结束时，他们的糖果数却是一样的，这种效果类似于两个函数的卷积具有“磨光”作用的效果。

本作品为“科普中国-科学原理一点通”原创，转载时务请注明出处。