[科普中国]-回文诗中的数学

诗是中国古代流传至今的一项丰厚的文化形式，同时也是古代教育中非常重要的一部分。利用诗的平仄规律和句式结构等特点，也可以将诗歌作得极富趣味，回文诗就是趣诗中的一种形式。回文诗将字词按照一定的规律排列成诗，无论是按照顺序阅读还是按照倒序从诗的最后一个字读到第一个字，都能完整成诗且朗朗上口。唐宋八大家之一苏轼也作过回文诗。

苏轼有两首七绝回文诗，一首是“空花落尽酒倾缸，日上山融雪涨江；红焙浅瓯新火活，龙团小碾斗晴窗”，倒读即“窗晴斗碾小团龙，活火新瓯浅焙红；江涨雪融山上日，缸倾酒尽落花空”；其二是“酡颜玉碗捧纤纤，乱点余光唾碧衫；歌咽水云凝静院，梦惊松雪落空岩”，倒读即“岩空落雪松惊梦，院静凝云水咽歌；衫碧唾光余点乱，纤纤捧碗玉颜酡”。这两首诗，不仅正读可成诗文，从最后一个字倒读到第一个字也十分有意境。

在数学中，也有与回文诗类似的数字。例如121、23432这样正读与倒读都一样的数字。

回文数是休闲数学的一个概念，顾名思义，休闲数学的性质与趣诗相差不大，都是为趣味而作。对任意正整数而言，回文数的数量是无限的，因为只要首尾数字相同且非零，在中间的数位中可以填充任意数量的0，就可以构成无数个回文数。因此，我们可以直观地看到，对于任何进制来说，回文数都是无限多的。

尽管回文数通常在十进制中使用，但是一般意义上的回文数能够应用于任意进制数字系统中的自然数，根据回文数从头读到尾与从尾读到头都完全相同的性质，我们能够给出这样的定义：回文数是个位数；或回文数是两个相同数字组成的两位数；或当回文数有三个或三个以上的数位时，它的首位与末位数字相同，且去掉首位和末位数字后的首位和末位数字相同……以此反复直到剩余一位数或两个数字相同的两位数。

因此，在十进制下，所有的一位数字均为回文数；两位数中的回文数有9个，三位数中的回文数有90个……那么四位数中的回文数有多少个呢？在一般情况下，n位数中的回文数又有多少个呢？我们假设一个回文数有n个数位，它由自身的前个数位所决定，这里的方括号表示里边的数字去掉小数取整。而这些对于n为偶数时的前半数位和n为奇数时的包括最中间那一位的前半数位而言，除了首位数字不能取0以外，其余数字可取0~9十种可能，因此n个数位的回文数有，将n=4代入可得，四位数的回文数有90个，五位数的回文数有900个，……，n位数的回文数有个。

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