[科普中国]-克鲁斯卡尔算法

Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。1

基本思想先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。2

步骤新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；1

将原图中所有的边按权值从小到大排序；1

从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；1

重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。1

证明这样的步骤保证了选取的每条边都是桥，因此图G构成一个树。3

为什么这一定是最小生成树呢？关键还是步骤3中对边的选取。算法中总共选取了n-1条边，每条边在选取的当时，都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边。3

要证明这条边一定属于最小生成树，可以用反证法：如果这条边不在最小生成树中，它连接的两个连通分量最终还是要连起来的，通过其他的连法，那么另一种连法与这条边一定构成了环，而环中一定有一条权值大于这条边的边，用这条边将其替换掉，图仍旧保持连通，但总权值减小了。1也就是说，如果不选取这条边，最后构成的生成树的总权值一定不会是最小的。2

时间复杂度平均时间复杂度为O(|E|log|E|)，其中E和V分别是图的边集和点集。2

C++语言程序#include#include#includeusing namespace std;const int M = 1e5+7;struct node{ int a,b,val;} Q[M];int fa[M];int Rd(){ int res=0;char c; while(c=getchar(),!isdigit(c)); do { res=(res