[科普中国]-自适应卡尔曼滤波

自适应卡尔曼滤波是指在利用测量数据进行滤波的同时，不断地由滤波本身去判断系统的动态是否有变化，对模型参数和噪声统计特性进行估计和修正，以改进滤波设计、缩小滤波的实际误差。此种滤波方法将系统辨识与滤波估计有机地结合为一体。

简介自适应卡尔曼滤波是指在利用测量数据进行滤波的同时，不断地由滤波本身去判断系统的动态是否有变化，对模型参数和噪声统计特性进行估计和修正，以改进滤波设计、缩小滤波的实际误差。此种滤波方法将系统辨识与滤波估计有机地结合为一体1。

卡尔曼跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人。

卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等2。

卡尔曼滤波器为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

假设要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设对经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。

另外，在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

好了，对于某一分钟有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如要估算k时刻的是实际温度值。

首先要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为温度是恒定的，所以会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度 （5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。

然后，从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。

用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance 来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg =0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23) =24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5 =2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益 （Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！

经典卡尔曼滤波动态系统的卡尔曼滤波数学模型包括状态方程和观测方程，对于线性系统，其离散形式为

𝑋𝑘= 𝛷𝑘,𝑘−1𝑋𝑘−1+ 𝐺𝑘−1𝑊𝑘−1

𝐿𝑘= 𝐻𝑘𝑋𝑘+ 𝑉𝑘

其中，𝑋𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的n×1维状态向量，𝛷𝑘,𝑘−1为系统从𝑡𝑘−1时刻到𝑡𝑘时刻的n×n维状态转移矩阵，𝑊𝑘−1为𝑡𝑘−1时刻的r×1动态噪声，𝐺𝑘−1为𝑡𝑘−1时刻的n×r动态噪声矩阵，𝐿𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的m×1维观测向量，𝐻𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的m×n维观测矩阵，𝑉𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的m×1维观测噪声3。

本词条内容贡献者为:

石季英 - 副教授 - 天津大学