[科普中国]-现代微分算子理论

现代微分算子理论是20世纪50年代，由米赫林、考尔德伦(Calderon,A.P.)和赞格蒙(Zygmund,A.)等人发展起来的奇异积分算子理论。

简介现代微分算子理论是20世纪50年代，由米赫林、考尔德伦(Calderon,A.P.)和赞格蒙(Zygmund,A.)等人发展起来的奇异积分算子理论，在处理线性微分方程中显示了它的作用。

20世纪60年代，尼伦伯格(Nirenberg,L.)、科恩(Kohn,J.J.)、赫尔曼德尔(Hormander,L.V.)及翁特伯格(Unterberger,A.)等人推广了奇异积分算子理论，创建了拟微分算子理论。

继而，又出现了傅里叶积分算子理论。它们结合微局部分析方法，在线性微分方程理论的研究中发挥了“革命”性的作用。

到了20世纪80年代，上述理论又被推广及应用于非线性问题的研究，其中特别是出现了仿微分算子理论。

近年来，又提出了仿傅里叶积分算子概念。

所有这些理论的出现，使得对微分方程理论的研究呈现崭新的局面，并且已逐步渗透及影响着数学中其他的分支学科。它们组成了一套新的算子理论，即所谓现代微分算子理论。1

微分算子在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）。

当然也有理由不单限制于线性算子；例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性情形。

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：d/dx,D，这里关于哪个变量微分是清楚的，以及Dx，这里指明了变量。一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：dn/dxn,Dn,Dxn。

线性微分方程线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学