[科普中国]-拉格朗日问题

从数学意义上，最优控制过程可分为三类：拉格朗日问题、麦耶尔问题和波尔扎问题。

如果已知系统的状态方程与初始状态，要求最优控制u(t)，使得相应的积分型指标为极小，这样的最优控制问题叫做拉格朗日问题。1

定义我们知道最优控制理论是泛函求解极值问题。泛函三种典型问题分别为：拉格朗日问题、麦耶尔问题和波尔扎问题。

拉格朗日问题(Lagrange problem)的具体表述如下：

给定状态方程

与初始条件

泛函取以下形式

其中 为 维状态向量， 为 维控制向量， 是 的连续函数。

拉格朗日问题要求从可供选择的函数 中确定出一个 ，在上述状态方程约束和初始条件下使泛函 取极小值。2

麦耶尔问题给定上述状态方程和初始条件，及以下的终端条件

要求的系统目标函数泛函为：

麦耶尔问题要求从可供选择的函数确定出一个 ，在上述状态方程约束和初始条件下使泛函取值极小。12

特别地，当

时，这就是最速控制问题。即以最短时间将系统的状态从初始点

控制转移到指定的终端式

波尔扎问题给定一组微分方程式

和初始条件式

及某些终端条件式

这与麦耶尔问题是一样的。要求的系统目标函数泛函为：

波尔扎问题要求从可供选择的函数 中确定出一个 ，在满足约束条件、初始条件和终端条件下，使泛函 取极小值。2

泛函三种典型问题对比从上述三个问题的陈述中可以看出，它们的主要区别在于目标函数泛函不同。拉格朗日问题是一个积分指标，麦耶尔问题是一个终端时刻某一函数的取值，而波尔扎问题的目标函数泛函是前述两者之和，所以它更具一般性。但是，这三类问题之间又可以互相转化、所以实际上只是一类问题。21

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学