[科普中国]-单位分解

在微分几何学中，单位分解是一种特殊的开覆盖，指微分流形上的一种开覆盖。在微分拓扑学中，单位分解是一种连续函数族。在流形上的微积分中，单位分解是流形上的函数集，其和为1。

微分几何学在微分几何学中，单位分解是一种特殊的开覆盖，指微分流形上的一种开覆盖。

Ck流形M上的Ck单位分解是M上一族Ck函数{fi|i∈Z}，它具有以下性质：

1、对M的每一点p，fi(p)≥0且。

2、函数fi的支集组成的集族{suppfi}是M的局部有限的覆盖，Ck流形M为仿紧时，对于M的任一开覆盖{Uα}，必存在从属于{Uα}的Ck单位分解{fi}，即{fi}还有下述性质：对每个i，fi的支集suppfi是紧致的，并且有开集Uα使得suppfi⊂Uα。

这就是单位分解定理，它是流形的局部性质过渡到整体性质的桥梁之一。1

微分拓扑学在微分拓扑学中，单位分解是一种连续函数族。

微分流形上的适合某些良好性质的连续（或可微）函数族。单位分解的存在性是微分拓扑与微分几何理论中常用的技巧和基本工具之一。

单位分解的方法有广泛的应用，例如，流形上黎曼度量的存在性、惠特尼嵌入定理及逼近定理。

流形上的微积分在流形上的微积分中，单位分解是流形上的函数集，其和为1。

Ck流形M上的单位分解是M上Ck函数集{𝜙i|i∈I}，其中I是一个指标集。

微分流形的仿紧性保证了它具有单位分解的性质。这个性质能把局部函数扩并为整体函数，反过来也能把整体函数分解为局部函数来研究。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学